Varianta 71

Prof: RICU ILEANA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Pentru ce valori $a\in \mathbb{R}$există $x\in \mathbb{R}$astfel încât numerele m,n,p,unde $m={{5}^{1+x}}+{{5}^{1-x}}$,

$n=\frac{a}{2}$şi $p={{25}^{x}}+{{25}^{-x}}$sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$definită prin $f\left( x \right)=\frac{m{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m-2}{{{x}^{2}}+1}$.Să se determine mulţimea $A=\left\{ m\in \mathbb{R}/f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R} \right\}$

(5p) 3. Se ia la întamplare un număr x din mulţimea $M=\left\{ x/x\in \mathbb{Z},\left| x \right|\le 7 \right\}$. Să se scrie evenimentul contrar lui A, unde A= x verifică ecuaţia ${{x}^{2}}-5\left| x \right|+4=0$.

(5p) 4.Să se calculeze suma coeficienţilor pentru binomul ${{\left( 17{{x}^{5}}-18y \right)}^{2012}}$.

(5p) 5. Considerăm vectorii $\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$;$\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$;$\overrightarrow{p}=4\overrightarrow{j}$.Calculaţi $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|$ştiind că $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$ şi $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}-\overrightarrow{p}$

(5p) 6. Să se calculeze $tg\left( \arcsin \frac{4}{5}+arctg\frac{7}{24} \right)$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră inelul $\left( {{\mathbb{Z}}_{12}},+,\cdot \right)$şi matricea $A=\left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{5}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{x}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{4}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{3}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( {{\mathbb{Z}}_{12}} \right)$

(5p) a) Calculaţi suma elementelor inversabile din ${{\mathbb{Z}}_{12}}$

(5p) b)Arătaţi că matricea  A este inversabilă $\forall x\in {{\mathbb{Z}}_{12}}$.

 (5p) c)Pentru $x=\overset{\wedge }{\mathop{0}}\,$, rezolvaţi în ${{M}_{3}}\left( {{\mathbb{Z}}_{12}} \right)$ecuaţia $YA=\left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, \\ \end{matrix} \right)$

2.Fie $f\in \mathbb{R}\left[ X \right],f={{\left( {{X}^{2}}+X+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{2n}{{{a}_{k}}{{X}^{k}}}$

(5p) a) Să se afle ${{a}_{1}}+{{a}_{3}}+....+{{a}_{2n-1}}$

(5p) b) Să se afle restul împărţirii lui f la ${{\left( X+2 \right)}^{2}}$.

(5p) c) Să se rezolve în C acuaţia f(x)=f(-x).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie $f:\left( -1,+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=x+\ln \left( 1+x \right)$

(5p) a) Arătaţi că f  este strict crescătoare pe domeniul său de definiţie.

(5p) b) Arătaţi că,pentru $\alpha \in \left( -1,0 \right),$avem$A\left( \alpha  \right)=\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}-\alpha +\left( \alpha +1 \right)\ln \left( \alpha +1 \right),$unde $A\left( \alpha  \right)$reprezintă aria suprafeţei cuprinsă între graficul lui f,axa Ox,şi dreptele $x=\alpha$şi $x=0$

(5p) c) Calculaţi $\underset{\alpha \to -1}{\mathop{\lim }}\,A\left( \alpha  \right)$

2. Fie şirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}$dat de ${{I}_{0}}=\int\limits_{1}^{e}{xdx}$,iar ${{I}_{n}}=\int\limits_{1}^{e}{x{{\left( \ln x \right)}^{n}}dx}$.

(5p) a)Calculaţi  ${{I}_{0}}$ şi ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Pentru $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$,arătaţi că $2{{I}_{n}}+n{{I}_{n-1}}={{e}^{2}}$

(5p) c) Ştiind că şirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}$este descrescător, arătaţi că $\frac{{{e}^{2}}}{n+3}\le {{I}_{n}}\le \frac{{{e}^{2}}}{n+2}$