Varianta 71

Prof: RICU ILEANA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Pentru ce valori \(a\in \mathbb{R}\)există \(x\in \mathbb{R}\)astfel încât numerele m,n,p,unde \(m={{5}^{1+x}}+{{5}^{1-x}}\),

\(n=\frac{a}{2}\)şi \(p={{25}^{x}}+{{25}^{-x}}\)sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\)definită prin \(f\left( x \right)=\frac{m{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m-2}{{{x}^{2}}+1}\).Să se determine mulţimea \(A=\left\{ m\in \mathbb{R}/f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R} \right\}\)

(5p) 3. Se ia la întamplare un număr x din mulţimea \(M=\left\{ x/x\in \mathbb{Z},\left| x \right|\le 7 \right\}\). Să se scrie evenimentul contrar lui A, unde A= x verifică ecuaţia \({{x}^{2}}-5\left| x \right|+4=0\).

(5p) 4.Să se calculeze suma coeficienţilor pentru binomul \({{\left( 17{{x}^{5}}-18y \right)}^{2012}}\).

(5p) 5. Considerăm vectorii \(\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\);\(\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\);\(\overrightarrow{p}=4\overrightarrow{j}\).Calculaţi \(\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|\)ştiind că \(\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}\) şi \(\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}-\overrightarrow{p}\)

(5p) 6. Să se calculeze \(tg\left( \arcsin \frac{4}{5}+arctg\frac{7}{24} \right)\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră inelul \(\left( {{\mathbb{Z}}_{12}},+,\cdot \right)\)şi matricea \(A=\left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{5}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{x}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{4}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{3}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( {{\mathbb{Z}}_{12}} \right)\)

(5p) a) Calculaţi suma elementelor inversabile din \({{\mathbb{Z}}_{12}}\)

(5p) b)Arătaţi că matricea  A este inversabilă \(\forall x\in {{\mathbb{Z}}_{12}}\).

 (5p) c)Pentru \(x=\overset{\wedge }{\mathop{0}}\,\), rezolvaţi în \({{M}_{3}}\left( {{\mathbb{Z}}_{12}} \right)\)ecuaţia \(YA=\left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{2}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, \\ \end{matrix} \right)\)

2.Fie \(f\in \mathbb{R}\left[ X \right],f={{\left( {{X}^{2}}+X+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{2n}{{{a}_{k}}{{X}^{k}}}\)

(5p) a) Să se afle \({{a}_{1}}+{{a}_{3}}+....+{{a}_{2n-1}}\)

(5p) b) Să se afle restul împărţirii lui f la \({{\left( X+2 \right)}^{2}}\).

(5p) c) Să se rezolve în C acuaţia f(x)=f(-x).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:\left( -1,+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=x+\ln \left( 1+x \right)\)

(5p) a) Arătaţi că f  este strict crescătoare pe domeniul său de definiţie.

(5p) b) Arătaţi că,pentru \(\alpha \in \left( -1,0 \right),\)avem\(A\left( \alpha  \right)=\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}-\alpha +\left( \alpha +1 \right)\ln \left( \alpha +1 \right),\)unde \(A\left( \alpha  \right)\)reprezintă aria suprafeţei cuprinsă între graficul lui f,axa Ox,şi dreptele \(x=\alpha \)şi \(x=0\)

(5p) c) Calculaţi \(\underset{\alpha \to -1}{\mathop{\lim }}\,A\left( \alpha  \right)\)

2. Fie şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\)dat de \({{I}_{0}}=\int\limits_{1}^{e}{xdx}\),iar \({{I}_{n}}=\int\limits_{1}^{e}{x{{\left( \ln x \right)}^{n}}dx}\).

(5p) a)Calculaţi  \({{I}_{0}}\) şi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Pentru \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\),arătaţi că \(2{{I}_{n}}+n{{I}_{n-1}}={{e}^{2}}\)

(5p) c) Ştiind că şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\)este descrescător, arătaţi că \(\frac{{{e}^{2}}}{n+3}\le {{I}_{n}}\le \frac{{{e}^{2}}}{n+2}\)