Varianta 72

Prof: RICU ILEANA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine \(x\in \mathbb{N}\)astfel încât numerele \(2C_{x-3}^{0};C_{x-1}^{2};C_{x}^{x-2}\)să fie în progresie aritmetică.

(5p) 2. Fie ecuaţia \({{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+8\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0,m\in \mathbb{R}\).Pentru ce valori ale lui m suma pătratelor rădăcinilor are valoarea maximă?

(5p) 3. Fie mulţimea \(M=\left\{ x/x\overset{{}}{\mathop{este}}\,\overset{{}}{\mathop{un}}\,\overset{{}}{\mathop{divizor}}\,\overset{{}}{\mathop{pozitiv}}\,\overset{{}}{\mathop{al}}\,\overset{{}}{\mathop{lui}}\,\overset{{}}{\mathop{60}}\, \right\}\). Să se scrie evenimentul A, unde A= expresia \(\sqrt[x!]{\frac{2{{x}^{2}}+x-21}{5-4x-{{x}^{2}}}}\)dă un număr real dacă \(x\in M\).

(5p) 4.Determinaţi partea reală a numărului complex \({{\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i} \right)}^{20}}\).

(5p) 5. Să se determine termenul al patrulea al dezvoltării\({{\left( 2{{x}^{2}}-5y \right)}^{n}}\)ştiind că suma coeficienţilor binomiali este 32.

(5p) 6. Determinaţi  valoarea parametrului \(a\in \mathbb{R}\)pentru care punctele \(A\left( 2a;a \right),B\left( 4;0 \right)\)şi \(C\left( 0;2 \right)\)sunt coliniare.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie \(M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{a}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{b}}\, \\ -\overset{\wedge }{\mathop{b}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{a}}\, \\ \end{matrix} \right) \right|\overset{\wedge }{\mathop{a}}\,,\overset{\wedge }{\mathop{b}}\,\in {{\mathbb{Z}}_{3}} \right\}\)

(5p) a)Să se arate că ,dacă  \(\overset{\wedge }{\mathop{a}}\,,\overset{\wedge }{\mathop{b}}\,\in {{\mathbb{Z}}_{3}}\),atunci \({{\overset{\wedge }{\mathop{a}}\,}^{2}}+{{\overset{\wedge }{\mathop{b}}\,}^{2}}=\overset{\wedge }{\mathop{0}}\,\Leftrightarrow \overset{\wedge }{\mathop{a}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{b}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{0}}\,\).

(5p) b) Să se determine \(A\in M\)astfel încât \({{A}^{2}}+{{I}_{2}}={{O}_{2}}\).

(5p) c)Stabiliţi câte elemente ale lui M sunt matrice inversabile.

2.În mulţimea permutărilor cu 3 elemente \({{S}_{3}}\) se consideră permutările \(\sigma =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) şi\(\tau =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Să se verifice dacă \(\sigma \tau =\tau \sigma \)

(5p) b) Să  se studieze paritatea celor două permutări.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(\sigma x=\tau \).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.Se consideră funcţia \(f:D\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\ln \left( 1+\frac{2}{x} \right)\) ,unde Deste domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.

(5p) a)Stabiliţi domeniul maxim de definiţie al funcţiei f şi determinaţi ecuaţiile asimptotelor lui f.

(5p) b) Să se arate că funcţia f este strict descrescătoare pe domeniul său.

(5p) c) Să se calculeze limita şirului cu termenul general \({{x}_{n}}=\frac{f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+......+f\left( n \right)}{n}\).

2. Fie şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in \mathbf{N}}}\), \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( \cos x \right)}^{n}}dx}\), \(n\in \mathbf{N}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{0}}\)şi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{n}}=\frac{n-1}{n}{{I}_{n-2}},\ \left( \forall  \right)\ \,n\in \mathbf{N},\ n\ge 2\).

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat de funcţia \(f:\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\to \left[ 0;1 \right],f\left( x \right)=\cos x\),în jurul axei Ox.