Varianta 73

Prof: RICU ILEANA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se afle cele 4 unghiuri ale unui patrulater ştiind că aceste unghiuri sunt în progresie geometrică şi că ultimul este de 9 ori mai mare decât al doilea.

(5p) 2. Fie funcţia de gradul al doilea \({{f}_{m}}\left( x \right)=m{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+m-1\),m≠0. Să se determine m astfel încât vârful parabolei asociate acestei funcţii să se găsească pe prima bisectoare.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \(\left[ \frac{x+3}{4} \right]=\frac{x-2}{3}\)

(5p) 4. Să se determine \(n\in \mathbb{Z}\) ştiind că se verifică egalitatea \({{\left( 1+i\sqrt{3} \right)}^{n}}+{{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{n}}={{2}^{n}}\)

(5p) 5. Să se determine suma termenilor raţionali ai dezvoltării \({{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{5}}\).

(5p) 6.Să se determine cosinusul celui mai mare unghi al \(\vartriangle ABC\),unde A(2,3),B(-1,2),C(1,-3).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră determinantul \(\Delta \left( x \right)=\left| \begin{matrix} {{e}^{2{{x}^{2}}}} & {{e}^{-a}} & {{e}^{-x}} \\ {{e}^{-a}} & {{e}^{2x}} & {{e}^{-{{x}^{2}}}} \\ {{e}^{-x}} & {{e}^{-{{x}^{2}}}} & {{e}^{2a}} \\ \end{matrix} \right|,a\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Arătaţi că \(\Delta \left( x \right)={{e}^{2\left( {{x}^{2}}+x+a \right)}}+2{{e}^{-\left( {{x}^{2}}+x+a \right)}}-3\).

(5p) b) Să se determine valorile parametrului real a pentru care ecuaţia \(\Delta \left( x \right)=0\) are rădăcini reale strict negative.

(5p) c) Arătaţi că pentru a=1 avem\(\Delta \left( x \right)\)>0,\(\forall x\in \mathbb{R}\)

2. Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie \(x\bot y=x+y+1,\) \(x\circ y=ax+by-1,\) cu \(a,b\in Z\) şi funcţia \(f:Z\to Z\) definită prin \(f(x)=x+2.\)

(5p) a) Să se demonstreze că \(x\bot (-1)=(-1)\bot x=x,\) \(\forall x\in Z\).

(5p) b) Să se determine \(a,b\in Z\) pentru care legea de compoziţie  „\(\circ \)” este asociativă

(5p) c) Dacă  \(a=b=1\)să se arate că funcţia  f este morfism între grupurile \((Z;\bot )\) şi \((Z,\circ )\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{m}{2} \right\}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{mx}{x-\left| x \right|+m},\)unde m>0 este un număr real fixat.

(5p) a)Determinaţi asimptotele funcţiei f.

(5p) b)Demonstraţi că f este strict crescătoare pe  \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{m}{2} \right\}\)

(5p) c) Arătaţi că f admite o singură soluţie reală .

2. Se consideră şirul \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\left( tgx \right)}^{n}}dx,n\in \mathbb{N},n\ge 2}\)

(5p)     a)Să se demonstreze că \({{I}_{n}}+{{I}_{n+2}}=\frac{1}{n+1},n\in \mathbb{N},n\ge 2\)şi  să se calculeze apoi I_2.

(5p)     b)Să se arate că \({{I}_{n}}\ge 0\),să se stabilească monotonia şi să se precizeze dacă şirul este convergent.

(5p)     c)Demonstraţi că \({{I}_{n+2}}\le \frac{1}{n+1},\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2\)şi calculaţi limita şirului\({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 2}}\).