Varianta 74

Prof : Şerban George-Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Dacă  a=1+i  , i=$\sqrt{-1}$ , arătaţi  că  numărul  ${{a}^{2}}-2a+1$  este un  număr  real .

(5p) 2.Fie  funcţia   $f:R\to R$ ,  f(x)=2x-1  . Calculaţi  $f(f(1))-{{f}^{-1}}(f(1))$ .

(5p) 3.Rezolvaţi  în  mulţimea  numerelor  reale  ecuaţia   ${{8}^{x}}-27=0$ .

(5p) 4. Care este probabilitatea  ca alegând un număr oarecare de două cifre acesta să  fie cub perfect.

(5p) 5. Se consideră punctele  A, B şi C  astfel  încât  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$  şi  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ . Calculaţi  lungimea  vectorului  $\overrightarrow{BC}$ .

(5p) 6. Fie $\Delta ABC$  cu  AB= 7 cm , BC= 8 cm  şi AC= 9 cm . Calculaţi  raza cercului circumscris  $\Delta ABC$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie  matricea $A=\left( \begin{matrix} 1 & -a \\ a & 1 \\ \end{matrix} \right)$ , unde $a\in R$.

(5p) a) Calculaţi  determinantul  matricei  ${{A}^{3}}$ .

(5p) b) Calculaţi  ${{A}^{2}}-2\cdot A+({{a}^{2}}+1)\cdot {{I}_{2}}$  .

(5p) c) Calculaţi  $({{a}^{2}}+1)\cdot {{A}^{-1}}-2\cdot {{I}_{2}}$ .

2. Fie polinomul $f={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-5$ .

(5p) a) Aflaţi  restul împărţirii  polinomului  f la polinomul  g=x+2 .

(5p) b) Dacă  ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$  sunt rădăcinile polinomului  f , calculaţi  $(2+{{x}_{1}})\cdot (2+{{x}_{2}})\cdot (2+{{x}_{3}})$ .

(5p) c) Arătaţi  că  polinomul  f  nu  are rădăcini  întregi .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:R\to R$  ,  $f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}$ .

(5p) a) Calculaţi  ${{f}^{'}}(x)$ .

(5p) b) Aflaţi  ecuaţia  asimtotei  oblice  la $\infty$   a funcţiei  f .

(5p) c) Calculaţi  limita la  $\infty$  a şirului   ${{a}_{n}}=f(1)+f(2)+.....+f(n)$ .

2. Pentru fiecare număr natural nenul n  se consideră  numărul   ${{I}_{n}}=\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{n}}}\cdot {{e}^{x}}dx$ .

(5p) a) Calculaţi  ${{I}_{1}}$ .

(5p) b) Arătaţi  că   ${{I}_{n}}={{e}^{2}}-n\cdot {{I}_{n-1}}$  , pentru orice număr  natural  $n\ge 2$   .

(5p) c) Arătaţi  că  ${{I}_{n}}\le e$ , pentru  orice  $n\in {{N}^{*}}$ .