Varianta 74

Prof : Şerban George-Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Dacă  a=1+i  , i=\(\sqrt{-1}\) , arătaţi  că  numărul  \({{a}^{2}}-2a+1\)  este un  număr  real .

(5p) 2.Fie  funcţia   \(f:R\to R\) ,  f(x)=2x-1  . Calculaţi  \(f(f(1))-{{f}^{-1}}(f(1))\) .

(5p) 3.Rezolvaţi  în  mulţimea  numerelor  reale  ecuaţia   \({{8}^{x}}-27=0\) .

(5p) 4. Care este probabilitatea  ca alegând un număr oarecare de două cifre acesta să  fie cub perfect.

(5p) 5. Se consideră punctele  A, B şi C  astfel  încât  \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\)  şi  \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\) . Calculaţi  lungimea  vectorului  \(\overrightarrow{BC}\) .

(5p) 6. Fie \(\Delta ABC\)  cu  AB= 7 cm , BC= 8 cm  şi AC= 9 cm . Calculaţi  raza cercului circumscris  \(\Delta ABC\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie  matricea \(A=\left( \begin{matrix} 1 & -a \\ a & 1 \\ \end{matrix} \right)\) , unde \(a\in R\).

(5p) a) Calculaţi  determinantul  matricei  \({{A}^{3}}\) .

(5p) b) Calculaţi  \({{A}^{2}}-2\cdot A+({{a}^{2}}+1)\cdot {{I}_{2}}\)  .

(5p) c) Calculaţi  \(({{a}^{2}}+1)\cdot {{A}^{-1}}-2\cdot {{I}_{2}}\) .

2. Fie polinomul \(f={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-5\) .

(5p) a) Aflaţi  restul împărţirii  polinomului  f la polinomul  g=x+2 .

(5p) b) Dacă  \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)  sunt rădăcinile polinomului  f , calculaţi  \((2+{{x}_{1}})\cdot (2+{{x}_{2}})\cdot (2+{{x}_{3}})\) .

(5p) c) Arătaţi  că  polinomul  f  nu  are rădăcini  întregi .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R\)  ,  \(f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}\) .

(5p) a) Calculaţi  \({{f}^{'}}(x)\) .

(5p) b) Aflaţi  ecuaţia  asimtotei  oblice  la \(\infty \)   a funcţiei  f .

(5p) c) Calculaţi  limita la  \(\infty \)  a şirului   \({{a}_{n}}=f(1)+f(2)+.....+f(n)\) .

2. Pentru fiecare număr natural nenul n  se consideră  numărul   \({{I}_{n}}=\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{n}}}\cdot {{e}^{x}}dx\) .

(5p) a) Calculaţi  \({{I}_{1}}\) .

(5p) b) Arătaţi  că   \({{I}_{n}}={{e}^{2}}-n\cdot {{I}_{n-1}}\)  , pentru orice număr  natural  \(n\ge 2\)   .

(5p) c) Arătaţi  că  \({{I}_{n}}\le e\) , pentru  orice  \(n\in {{N}^{*}}\) .