Varianta 75

Prof. : Şerban George-Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Dacă  şirul   \({{a}_{1}},{{a}_{2}},......,{{a}_{n}}\)  este o progresie aritmetică  cu  \({{a}_{3}}=10\)  şi  \({{a}_{5}}=16\).Calculaţi  \({{a}_{50}}\) .

(5p) 2. Fie  funcţia   \(f:R\to R\) ,  \(f(x)={{x}^{2}}-1\) . Calculaţi minimul funcţiei  f .

(5p) 3. Rezolvaţi  în  mulţimea  numerelor  reale  ecuaţia   \({{27}^{x+2}}=81\) .

(5p) 4. Care este probabilitatea  ca alegând  un număr oarecare de două cifre , produsul  cifrelor să  fie un număr prim .

(5p) 5. În  reperul cartezian  xoy  se consideră  punctele  A (1 ,-1) şi  B (-2 ,3) . Aflaţi  coordonatele punctului  M  ştiind  că   \(\overrightarrow{AM}=5\cdot \overrightarrow{MB}\) .

(5p) 6. Dacă   \(x\in [0,\frac{\pi }{2}]\) , rezolvaţi  ecuaţia  \({{\sin }^{3}}x={{\cos }^{3}}x\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie  matricea \(A(x)=\left( \begin{matrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}(R)\).

(5p) a) Aflaţi  \(x\in R\)   pentru  care  matricea  A(x)  este singulară .

(5p) b) Calculaţi   \(A(x)\cdot A(-x)\) .

(5p) c) Calculaţi   \({{A}^{-1}}(2)\) .

2. Fie legea de compoziţie   \(x\circ y=\sqrt{{{x}^{2}}\cdot {{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2}\)  ,  \(\forall x,y\in (1,\infty )\) .

(5p) a) Calculaţi   \(2\circ 3\) .

(5p) b) Studiaţi  dacă  legea  \(\circ \)  admite  element  neutru .

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia   \(x\circ x\circ x\circ x=2\)  ,  \(x\in (1,\infty )\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R\) ,  \(f(x)={{e}^{x}}-x-1\) .

(5p) a) Calculaţi  derivata  funcţiei  f .

(5p) b) Aflaţi  punctul de extrem  al funcţiei   f .

(5p) c) Arătaţi  că   \({{e}^{\sqrt{2}}}>\frac{12}{5}\) .

2. Fie funcţia \(f:R\to R\)  ,  \(f(x)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\) .

(5p) a) Aflaţi  o primitivă  a  funcţiei  f ,  notată   \(F:R\to R\) ,  cu  \(F(\sqrt{e-1})=\frac{3}{2}\) , unde  e  este baza logaritmului  natural .

(5p) b) Calculaţi  \(\underset{n\to \infty }{\mathop \lim }\,\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}}\cdot f(x)dx\) .

(5p) c) Calculaţi   \(\int{({{x}^{4}}+1)\cdot {{e}^{x}}\cdot f({{x}^{2}})dx}\) .