Varianta 76

Prof. : Serban George-Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Dacă  şirul   \({{a}_{1}},{{a}_{2}},......,{{a}_{n}}\)  este o progresie aritmetică  cu  \({{a}_{3}}=16\)  şi  \({{a}_{5}}=26\).Calculaţi  suma  primilor 10  termeni ai şirului  .

(5p) 2. Fie  funcţia   \(f:R\to R\) ,  \(f(x)=-{{x}^{2}}+1\) . Aflaţi coordonatele punctului de maxim al funcţiei f .

(5p) 3. Rezolvaţi  în  mulţimea  numerelor  reale  ecuaţia    \({{\log }_{2}}(x-5)=2\) .

(5p) 4.Câte numere de trei  cifre distincte  \(\overline{abc}\)  se  pot  forma  ştiind  că  \(a,b,c\in \{0,1,2,3,4\}\)

(5p) 5. În  reperul cartezian  xoy  se consideră  punctele  A (2 ,-1) şi  B (-2 ,3) . Aflaţi  coordonatele punctului  M  ştiind  că  \(\overrightarrow{AM}=2\cdot \overrightarrow{MB}\) .

(5p) 6. Dacă  \(x\in [0,\frac{\pi }{2}]\) , rezolvaţi  ecuaţia   \({{\cos }^{2}}x=\cos 2x\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(A(x)=\left( \begin{matrix} x & 0 & x \\ 0 & x & 0 \\ x & 0 & x \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}(R)\).

(5p) a) Calculaţi    \(\det ({{A}^{10}})\) .

(5p) b) Calculaţi    \(A(x)+{{A}^{2}}(x)+{{A}^{3}}(x)+{{A}^{4}}(x)\) .

(5p) c) Calculaţi  rangul  matricei   \(A(2)\cdot {}^{t}A(2)\) .

2. Fie polinomul \(f={{x}^{4}}+16\) .

(5p) a) Dacă  \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\)  sunt rădăcinile polinomului  f , calculaţi   \({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+{{x}_{4}}^{2}\).

(5p) b) Aflaţi  restul împărţirii  polinomului  f la polinomul  g=x-i-1  , i=\(\sqrt{-1}\)  .

(5p) c) Arătaţi  că  polinomul  f  este  reductibil  in  R[x] .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R\)  ,  f(x)=x –arctgx .

(5p) a) Calculaţi  derivata  a doua a funcţiei  f .

(5p) b) Calculaţi  \(\underset{x\to 0}{\mathop \lim }\,\frac{f(x)}{{{x}^{3}}}\) .

(5p) c) Scrieţi  ecuaţia  tangentei  la graficul funcţiei  f  în  punctul  O (0,0).

2. Fie funcţia \({{f}_{n}}:R\to R\)  ,   \({{f}_{n}}(x)={{x}^{n}}\cdot arctg(x)\)  , unde  \(n\in N\)  şi  \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{n}}(x)dx}\) .

(5p) a) Calculaţi  \({{I}_{0}}\) .

(5p) b)Calculaţi   \({{I}_{1}}\) .

(5p) c) Calculaţi   \(\underset{n\to \infty }{\mathop \lim }\,{{I}_{n}}\) .