Varianta 77

Prof. Soare Roxana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

   Subiectul I  (30 puncte )

(5p) 1.Să se calculeze modulul numărului complex\(z={{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}i \right)}^{2012}}\) .

(5p) 2.Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia \(3{{x}^{2}}+5x-2\le 0.\) \(3{{x}^{2}}+5x-2\le 0\)

(5p) 3.Să se rezolve în mulţimea \([0,2\pi )\) ecuaţia\(\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\) 

(5p) 4.Câte numere de la 1 la 200 nu sunt divizibile nici cu 3 , nici cu 5?

(5p) 5.Să se determine  astfel încât vectorii\(\overrightarrow{u}=(a+1)\overrightarrow{i}-(2a-1)\overrightarrow{j}\,si\,\overrightarrow{u}=(2a+1)\overrightarrow{i}+(3a+1)\overrightarrow{j}\)

să fie perpendiculari.

(5p) 6.Să  se calculeze raza cercului circumscris triunghiului de laturi 6,8,12.

    Subiectul  al II-lea  (30 puncte )

1. Se consideră mulţimea de matrice \(G=A(a)=\left\{ \left( \begin{matrix} 1+a & 2a \\ -2a & 1-4a \\ \end{matrix} \right)/a\in \mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\} \right\}\) 

(5p) a) Să se arate că \({{I}_{2}}\in G\,si\,\left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ -4 & -7 \\ \end{matrix} \right)\in G\)

(5p) b) Să se arate că\((G,\cdot )\) este subgrup al grupului \((G{{L}_{2}}(\mathbb{R}),\cdot )\) .

(5p) c) Să se rezolve în G ecuaţia \({{(A(a))}^{3}}=A(21a)\) .

2. Se consideră polinomul \(f=2{{X}^{4}}+4{{X}^{3}}+4X+4\in {{\mathbb{Z}}_{5}}[X]\)

(5p) a) Să se arate că dacă \(a\in {{\mathbb{Z}}_{5}}-\{\overset{\hat{\ }}{\mathop{0}}\,\}\) , atunci \({{\hat{a}}^{4}}=\hat{1}\)  

(5p) b) Să se determine rădăcinile din Z₅  ale polinomului f.

(5p) c) Să se descompună f în produs de factori ireductibili în \({{\mathbb{Z}}_{5}}\) [X].

Subiectul  al III-lea   (30 puncte )

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}-\{-1\}\to \mathbb{R},\,f(x)=\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+1}\) .

(5p) a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f

(5p) b) Să se calculeze\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\ln f(x).\) .

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,((f(2)\cdot f(3)\cdot ...\cdot f(n)).\) .

2. Se consideră şirul \({{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}},\,{{a}_{n}}=\int\limits_{n}^{n+!}{\frac{1}{x(x+1)}dx}\) .

(5p) a) Să se studieze convergenţa şirului \({{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}\)

(5p) b) Să se calculeze\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}{{a}_{n}}\)

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+a{}_{n}).\)