Varianta  78

Prof. Soare Roxana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Subiectul I (30 puncte)

(5p) 1.Într-o progresie aritmetică se cunosc\({{a}_{3}}=5\,i\,{{a}_{6}}=11\)   Să se calculeze suma primilor 100 de termeni ai progresiei.

(5p) 2.Să se arate că vârfurile asociate familiei de parabole y=x² –(m+1)x+m+2 se găsesc pe o parabolă.

(5p) 3.Să se rezolve ecuaţia \(\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+8}+\sqrt{3{{x}^{2}}-2x+3}=5.\)

(5p) 4.Câte funcţii \(f:\{-2,-1,0,1,2\}\to \{1,2,3,4,5,6\}\) f  au proprietatea f(-2)=f(2)?

(5p) 5.Pe latura [BC] a triunghiului ABC se consideră punctul M astfel încât\(\frac{BM}{MC}=\frac{2}{5}\)    Să se arate că \(\overrightarrow{AM}=\frac{5}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}.\)

(5p) 6.Ştiind că \(x\in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\)  şi \(\sin x=\frac{5}{13}\)  să se calculeze \(tg\frac{x}{2}\)

Subiectul  al II-lea  (30 puncte)

1.Se consideră sistemul :\(\left\{ \begin{align} & 2x-3y+4z=1 \\ & x+y+2z=3 \\ & 3x-2y+6z=4 \\ \end{align} \right.\) . Se notează cu A matricea sistemului.

(5p) ab) Să se determine rangul matricei sistemului.

(5p) b) Să se rezolve sistemul.

(5p) c) Câte soluţii întregi\(({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})\)    are sistemul cu proprietatea \(|{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}|\le 3?\)  

2.Pe mulţimea IR se defineşte legea de compoziţie:\(x*y=2xy-6x-6y+21,\,\forall x,y\in \mathbb{R}\)  

(5p) a) Să se arate că \(x*y=2(x-3)(y-3)+3,\,\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b)  Să se arate că legea „*” este asociativă.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia:\(\underbrace{x*x*x*...*x}_{de2012\,ori}={{2}^{2011}}+3\)  .

Subiectul  al III-lea (30 puncte)

1.Pentru fiecare \(n\in \mathbb{N},\,n\ge 2\) ,se consideră funcţia \({{f}_{n}}:(-1;\infty )\to \mathbb{R}\) \({{f}_{n}}(x)={{(1+x)}^{n}}-1-nx.\)

(5p) a) Să se calculeze\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f_{2}^{'}(x)}{{{f}_{2}}(x)}.\)   .

(5p) b) Să se arate că \({{f}_{n}}(x)\ge 0,\forall x\in (-1,+\infty ),\,n\in \mathbb{N},n\ge 2.\) .

(5p) c) Să se arate că funcţia\({{f}_{n}}\)    este convexă , pentru fiecare \(n\in \mathbb{N},n\ge 2,\forall x\in (-1;\infty )\)  

2.Se consideră funcţia \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,F(x)=\int\limits_{0}^{x}{({{t}^{3}}-3t+2){{e}^{3t}}dt.}\) .

(5p) a) Să se calculeze F’(x).

(5p) b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei F.

(5p) c) Să se determine punctele de inflexiune ale funcţiei F.