Varianta 80

Prof.  Stan Adrian

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Dacă\(a=\sqrt{9+6\sqrt{2}}-\sqrt{9-6\sqrt{2}}\)   , să se calculeze \({{\left( a-2\sqrt{3} \right)}^{2}}\).

(5p) 2. Să se calculeze suma   3 + 10  +  17 +….+ 192 ;

(5p) 3. Știind că \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)sunt rădăcinile ecuației \({{x}^{2}}+4x+1=0\)să se calculeze \(\frac{{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}+2}+\frac{{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}+2}\).

(5p) 4. Să se rezolve ecuația \(\lg (x-3)+2\lg (x-1)=3\lg (x-2)\).

(5p) 5. Să se calculeze \(\sin ({{90}^{0}}+x)+\cos ({{180}^{0}}-x)+\sin ({{180}^{0}}-x)+\cos ({{90}^{0}}+x)\).

(5p) 6. În triunghiul ABC se cunosc AB=8, BC=5 și \(\cos B=\frac{4}{5}\). Se cere să se determine sin A.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} x+1 & -1 & 2 \\ 2 & x+3 & -1 \\ 2 & 1 & x+1 \\ \end{matrix} \right)\), \(x\in \mathbb{R}.\)

(5p) a) Să se calculeze \(A(3)\cdot A(-3)\);

(5p) b) Să se arate că \(\det (A(x)+A(-x))=0\);

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(\det (A(x))=0\).

2. Fie \(f,g\in \mathbb{R}[X]{{,}^{{}}}f(X)={{X}^{3}}+m{{X}^{2}}+nX+p,\) \(g(X)={{X}^{2}}+X-2\).

(5p) a) Să se determine \(p\in \mathbb{R}\)astfel încât f(2) = 2(2m+n+9).

(5p) b) Pentru p=10, să se determine \(m,n\in \mathbb{R}\)astfel încât f să se dividă  prin g ;

(5p) c) Pentru m= - 4, n= -7, şi p = 10, să se calculeze produsul \(f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot .....\cdot f(2010).\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. 1. Fie funcţia \(f:(0,\infty )\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}(1+\ln x)\);

(5p) a) Să se calculeze \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1};\)

(5p) b) Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate  ale funcţiei f;

(5p) c) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul lui f în punctul de abcisă \({{x}_{0}}=1.\)

2. Fie \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\) \(f(x)=\left\{ \begin{align} & a{{x}^{2}}+bx+c{{,}^{{}}}x\langle 1 \\ & \ln ({{x}^{2}}-4x+4),x\ge 1 \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Să se determine \(a,b\in \mathbb{R}\)astfel încât f(x)  să admită primitive pe \(\mathbb{R}\);

(5p) b) Să se arate că orice primitivă a lui f este convexă pe \((2;\infty )\).

(5p) c) Pentru \(a=-4,b=6\)să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{f(x)}}dx\).