Varianta 82

Prof.  Stoica Alina Codruţa

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Sǎ se calculeze ${{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}\frac{12}{5}$ .

(5p) 2. Câţi termeni iraţionali conţine dezvoltarea ${{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{8}}$ ?

(5p) 3. Aflaţi numǎrul complex $z$  care are proprietatea $z+2\overline{z}=6+i$ .

(5p) 4. Care  este probabilitatea ca alegând un numǎr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre , acesta sǎ conţinǎ cifra 6 ?

(5p) 5. Sǎ se determine $m\in \mathbb{R}$ ştiind cǎ distanţa de la $A\left( 4-m;4+m \right)$ la $B\left( -1;2 \right)$ este egalǎ cu 5.

(5p) 6. Aflaţi perimetrul triunghiului $ABC$ ştiind cǎ $AB=4$ ,  $AC=6$ şi $m\left( \measuredangle BAC \right)={{60}^{0}}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie mulţimea $G=\left\{ A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} {{2014}^{x}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left| x\in \mathbb{R} \right. \right\}$ şi ${{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ .

(5p) a) Verificaţi dacă ${{I}_{3}}\in G$ .

(5p) b) Arătaţi că $A\left( x \right)A\left( y \right)\in G$  oricare ar fi  $x,y\in \mathbb{R}$ .

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia $\det {{A}^{2}}\left( x \right)=2014$  în $\mathbb{R}$ .

2. Pe $\mathbb{R}$ definim legea de compoziţie internǎ $x\circ y=xy-3x-3y+12$ , $x,y\in \mathbb{R}$ .

(5p) a) Arătaţi că $x\circ y\in \left( 3;+\infty  \right),\forall x,y\in \left( 3;+\infty  \right)$

(5p) b) Sǎ se determine $x\in \mathbb{R}$ ştiind cǎ$x\circ x=x$

(5p) c) Arătaţi că funcţia $f:\mathbb{R}\to \left( 3;+\infty  \right),f\left( x \right)={{e}^{x}}+3$ este un izomorfism de la grupul $\left( \mathbb{R};+ \right)$ la

grupul  $\left( \left( 3;+\infty  \right);\circ  \right).$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}\cos \frac{1}{x},x\ne 0 \\ 0,x=0 \\ \end{matrix} \right.$ şi $g:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}$

(5p) a) Să se studieze continuitatea funcţiei $f$

(5p) b) Să se studieze derivabilitatea funcţiei $f$ în $x=0$ .

(5p) c) Să se calculeze limita şirului  ${{a}_{n}}=g\left( \frac{1}{{{n}^{3}}} \right)+g\left( \frac{2}{{{n}^{3}}} \right)+...+g\left( \frac{n}{{{n}^{3}}} \right),n\ge 1$

2. Fie funcţia $f:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\ln x-x$

(5p) a) Arătaţi că orice primitivǎ $F$ a lui $f$ este concavǎ pe $\left( 1;+\infty  \right)$

(5p) b) Să se calculeze ${{\int{\left( x-f\left( x \right)+\ln x \right)}}^{2}}dx$

(5p) c) Să se determine primitiva $G$  a funcţiei $g:\left( 0;+\infty  \right)\to \mathbb{R},g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}$ cu proprietatea cǎ $G\left( 1 \right)=\frac{1}{2}$