Varianta 82

Prof.  Stoica Alina Codruţa

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Sǎ se calculeze \({{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}\frac{12}{5}\) .

(5p) 2. Câţi termeni iraţionali conţine dezvoltarea \({{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{8}}\) ?

(5p) 3. Aflaţi numǎrul complex \(z\)  care are proprietatea \(z+2\overline{z}=6+i\) .

(5p) 4. Care  este probabilitatea ca alegând un numǎr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre , acesta sǎ conţinǎ cifra 6 ?

(5p) 5. Sǎ se determine \(m\in \mathbb{R}\) ştiind cǎ distanţa de la \(A\left( 4-m;4+m \right)\) la \(B\left( -1;2 \right)\) este egalǎ cu 5.

(5p) 6. Aflaţi perimetrul triunghiului \(ABC\) ştiind cǎ \(AB=4\) ,  \(AC=6\) şi \(m\left( \measuredangle BAC \right)={{60}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie mulţimea \(G=\left\{ A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} {{2014}^{x}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left| x\in \mathbb{R} \right. \right\}\) şi \({{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) .

(5p) a) Verificaţi dacă \({{I}_{3}}\in G\) .

(5p) b) Arătaţi că \(A\left( x \right)A\left( y \right)\in G\)  oricare ar fi  \(x,y\in \mathbb{R}\) .

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia \(\det {{A}^{2}}\left( x \right)=2014\)  în \(\mathbb{R}\) .

2. Pe \(\mathbb{R}\) definim legea de compoziţie internǎ \(x\circ y=xy-3x-3y+12\) , \(x,y\in \mathbb{R}\) .

(5p) a) Arătaţi că \(x\circ y\in \left( 3;+\infty  \right),\forall x,y\in \left( 3;+\infty  \right)\)

(5p) b) Sǎ se determine \(x\in \mathbb{R}\) ştiind cǎ\(x\circ x=x\)

(5p) c) Arătaţi că funcţia \(f:\mathbb{R}\to \left( 3;+\infty  \right),f\left( x \right)={{e}^{x}}+3\) este un izomorfism de la grupul \(\left( \mathbb{R};+ \right)\) la

grupul  \(\left( \left( 3;+\infty  \right);\circ  \right).\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţiile \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}\cos \frac{1}{x},x\ne 0 \\ 0,x=0 \\ \end{matrix} \right.\) şi \(g:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}\)

(5p) a) Să se studieze continuitatea funcţiei \(f\)

(5p) b) Să se studieze derivabilitatea funcţiei \(f\) în \(x=0\) .

(5p) c) Să se calculeze limita şirului  \({{a}_{n}}=g\left( \frac{1}{{{n}^{3}}} \right)+g\left( \frac{2}{{{n}^{3}}} \right)+...+g\left( \frac{n}{{{n}^{3}}} \right),n\ge 1\)

2. Fie funcţia \(f:\left( 0;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\ln x-x\)

(5p) a) Arătaţi că orice primitivǎ \(F\) a lui \(f\) este concavǎ pe \(\left( 1;+\infty  \right)\)

(5p) b) Să se calculeze \({{\int{\left( x-f\left( x \right)+\ln x \right)}}^{2}}dx\)

(5p) c) Să se determine primitiva \(G\)  a funcţiei \(g:\left( 0;+\infty  \right)\to \mathbb{R},g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}\) cu proprietatea cǎ \(G\left( 1 \right)=\frac{1}{2}\)