Varianta 83

Prof. Stoica Alina Codruţa

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Sǎ se calculeze ${{z}^{4}}+\frac{1}{{{z}^{4}}}$ ştiind cǎ $z\in \mathbb{C}$ şi ${{z}^{2}}+z+1=0$

(5p) 2. Ştiind cǎ graficul funcţiei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax-2a$ intersecteazǎ axa OX în douǎ puncte situate la distanţa 3, sǎ se afle valorile parametrului $a\in \mathbb{R}$ .

(5p) 3. Sǎ se rezolve în $\mathbb{R}$ecuaţia $\lg \left( x+1 \right)+\lg x=\lg 9+1$.

(5p) 4. Să se determine$\left\{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+...+\frac{1}{{{2}^{2014}}} \right\}$ unde $\left\{ x \right\}$reprezintă partea fracţionară a numărului real x.

(5p) 5. Calculaţi $\left| \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right|$ ştiind cǎ $ABCDEF$ este un hexagon cu lungimea laturii de 10.

(5p) 6. Arătaţi că unghiul vectorilor $a=5\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$ şi $b=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ este obtuz.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ permutǎrile $e,\sigma \in {{S}_{3}},e=\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right),\sigma =\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)$

(5p) a) Sǎ se calculeze ${{\sigma }^{3}}$ ;

(5p) b) Sǎ se rezolve ecuaţia ${{\sigma }^{2014}}\cdot x=e,x\in {{S}_{3}}$

(5p) c) Demonstraţi cǎ, indiferent de ordinea factorilor, produsul permutǎrilor din ${{S}_{3}}$este permutare imparǎ.

2. Se considerǎ polinomul $f={{X}^{3}}+\widehat{2}{{X}^{2}}+m\in {{\mathbb{Z}}_{3}}\left[ X \right]$ şi $m\in {{\mathbb{Z}}_{3}}$

(5p) a) Sǎ se calculeze $f\left( \widehat{0} \right)+f\left( \widehat{1} \right)+f\left( \widehat{2} \right)$

(5p) b) Pentru $m=\widehat{2}$ sǎ se determine rǎdǎcinile polinomului $f$

(5p) c) Sǎ se determine $m\in {{\mathbb{Z}}_{3}}$ pentru care polinomul  $f$ este ireductibil peste ${{\mathbb{Z}}_{3}}\left[ X \right]$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}$

(5p) a) Sǎ se calculeze $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$

(5p) b) Sǎ se arate cǎ $f$ este convexǎ pe $\mathbb{R}$

(5p) c) Sǎ se arate cǎ funcţia $f$nu are asimptote spre $+\infty$

2. Se considerǎ şirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+{{x}^{2n}}}}dx,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

(5p) a) Sǎ se calculeze ${{I}_{1}}$ ;

(5p) b) Sǎ se arate cǎ ${{I}_{n}}\le \frac{1}{n+1},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$;

(5p) c) Sǎ se calculeze $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}$.