Varianta 83

Prof. Stoica Alina Codruţa

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Sǎ se calculeze \({{z}^{4}}+\frac{1}{{{z}^{4}}}\) ştiind cǎ \(z\in \mathbb{C}\) şi \({{z}^{2}}+z+1=0\)

(5p) 2. Ştiind cǎ graficul funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax-2a\) intersecteazǎ axa OX în douǎ puncte situate la distanţa 3, sǎ se afle valorile parametrului \(a\in \mathbb{R}\) .

(5p) 3. Sǎ se rezolve în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \(\lg \left( x+1 \right)+\lg x=\lg 9+1\).

(5p) 4. Să se determine\(\left\{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+...+\frac{1}{{{2}^{2014}}} \right\}\) unde \(\left\{ x \right\}\)reprezintă partea fracţionară a numărului real x.

(5p) 5. Calculaţi \(\left| \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right|\) ştiind cǎ \(ABCDEF\) este un hexagon cu lungimea laturii de 10.

(5p) 6. Arătaţi că unghiul vectorilor \(a=5\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}\) şi \(b=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\) este obtuz.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ permutǎrile \(e,\sigma \in {{S}_{3}},e=\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right),\sigma =\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Sǎ se calculeze \({{\sigma }^{3}}\) ;

(5p) b) Sǎ se rezolve ecuaţia \({{\sigma }^{2014}}\cdot x=e,x\in {{S}_{3}}\)

(5p) c) Demonstraţi cǎ, indiferent de ordinea factorilor, produsul permutǎrilor din \({{S}_{3}}\)este permutare imparǎ.

2. Se considerǎ polinomul \(f={{X}^{3}}+\widehat{2}{{X}^{2}}+m\in {{\mathbb{Z}}_{3}}\left[ X \right]\) şi \(m\in {{\mathbb{Z}}_{3}}\)

(5p) a) Sǎ se calculeze \(f\left( \widehat{0} \right)+f\left( \widehat{1} \right)+f\left( \widehat{2} \right)\)

(5p) b) Pentru \(m=\widehat{2}\) sǎ se determine rǎdǎcinile polinomului \(f\)

(5p) c) Sǎ se determine \(m\in {{\mathbb{Z}}_{3}}\) pentru care polinomul  \(f\) este ireductibil peste \({{\mathbb{Z}}_{3}}\left[ X \right]\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}\)

(5p) a) Sǎ se calculeze \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\)

(5p) b) Sǎ se arate cǎ \(f\) este convexǎ pe \(\mathbb{R}\)

(5p) c) Sǎ se arate cǎ funcţia \(f\)nu are asimptote spre \(+\infty \)

2. Se considerǎ şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+{{x}^{2n}}}}dx,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

(5p) a) Sǎ se calculeze \({{I}_{1}}\) ;

(5p) b) Sǎ se arate cǎ \({{I}_{n}}\le \frac{1}{n+1},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\);

(5p) c) Sǎ se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\).