Varianta 85

Prof.  Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația \({{(2x-3)}^{2}}=-9\).

(5p) 2. Arătați că vârful parabolei \(y={{x}^{2}}-2(3m+1)x+m\)se află sub axa \(Ox\)pentru orice \(m\in \mathbb{R}\).

(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \({{\log }_{2}}\sqrt{x+3}=1\).

(5p) 4. Să se determine termenul care conține pe \({{x}^{3}}\) în dezvoltarea \({{\left( x+\frac{2}{x} \right)}^{7}}\), unde \(x>0\).

(5p) 5. Fie hexagonul regulat \(ABCDEFG\). Să se descompună vectorul \(\overrightarrow{AD}\) după vectorii \(\overrightarrow{AB}\) și \(\overrightarrow{AF}\).

(5p) 6. Știind că \(a\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)\) și \(\sin a=\frac{3}{5}\), să se calculeze \(\text{tg}\,a\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie \(m\in \mathbb{R}\) și punctele \(A(m,2)\), \(B(m-1,3)\) și \(C(2m,2-m)\). Considerăm matricea \(M=\left( \begin{matrix} m & 2 & 1 \\ m-1 & 3 & 1 \\ 2+m & 2-m & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Determinați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care matricea \(M\) este inversabilă.

(5p) b) Arătați că punctele \(A\), \(B\) și \(C\) sunt coliniare.

(5p) c) Să se arate că \(\mathrm{rang}(M)\ge2\), pentru orice \(m\in \mathbb{R}\).

2. Fie \({{\mathbb{Z}}_{15}}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\ldots ,\widehat{14}\}\) inelul claselor de resturi modulo \(15\).

(5p) a) Să se arate că suma elementelor inelului este egală cu \(\hat{0}\).

(5p) b) Rezolvați în \(\mathbb{Z}_{15}\) ecuația \(\hat{2}\cdot x=\hat{6}\).

(5p) c) Să se determine numărul elementelor neinversabile ale inelului.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+11x-5}\).

(5p) a) Să se calculeze \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to 1 \\ x<1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}\).

(5p) b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcției \(f\).

(5p) c) Să se determine punctele de extrem ale funcției \(f\).

2. Fie șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 2}}\) dat prin termenul general \({{I}_{n}}=\mathop{\int }_{1}^{2}\frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\text{d}x\), pentru orice \(n\in \mathbb{N}\), \(n\ge 2\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{2}}\).

(5p) b) Să se demonstreze că \({{I}_{n+1}}=\text{e}-\frac{\sqrt{\text{e}}}{{{2}^{n-1}}}+(1-n){{I}_{n}}\), pentru orice \(n\in \mathbb{N}\), \(n\ge 2\).

(5p) c) Folosind, eventual, inegalitatea \(0\le \frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{\text{e}}{{{x}^{n}}}\), \((\forall )\,x\in [1,2]\), \((\forall )\,n\in \mathbb{N}\), \(n\ge 2\), calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\).