Varianta 85

Prof.  Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația ${{(2x-3)}^{2}}=-9$.

(5p) 2. Arătați că vârful parabolei $y={{x}^{2}}-2(3m+1)x+m$se află sub axa $Ox$pentru orice $m\in \mathbb{R}$.

(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația ${{\log }_{2}}\sqrt{x+3}=1$.

(5p) 4. Să se determine termenul care conține pe ${{x}^{3}}$ în dezvoltarea ${{\left( x+\frac{2}{x} \right)}^{7}}$, unde $x>0$.

(5p) 5. Fie hexagonul regulat $ABCDEFG$. Să se descompună vectorul $\overrightarrow{AD}$ după vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AF}$.

(5p) 6. Știind că $a\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)$ și $\sin a=\frac{3}{5}$, să se calculeze $\text{tg}\,a$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie $m\in \mathbb{R}$ și punctele $A(m,2)$, $B(m-1,3)$ și $C(2m,2-m)$. Considerăm matricea $M=\left( \begin{matrix} m & 2 & 1 \\ m-1 & 3 & 1 \\ 2+m & 2-m & 1 \\ \end{matrix} \right)$.

(5p) a) Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $M$ este inversabilă.

(5p) b) Arătați că punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare.

(5p) c) Să se arate că $\mathrm{rang}(M)\ge2$, pentru orice $m\in \mathbb{R}$.

2. Fie ${{\mathbb{Z}}_{15}}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\ldots ,\widehat{14}\}$ inelul claselor de resturi modulo $15$.

(5p) a) Să se arate că suma elementelor inelului este egală cu $\hat{0}$.

(5p) b) Rezolvați în $\mathbb{Z}_{15}$ ecuația $\hat{2}\cdot x=\hat{6}$.

(5p) c) Să se determine numărul elementelor neinversabile ale inelului.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+11x-5}$.

(5p) a) Să se calculeze $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 1 \\ x<1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}$.

(5p) b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcției $f$.

(5p) c) Să se determine punctele de extrem ale funcției $f$.

2. Fie șirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 2}}$ dat prin termenul general ${{I}_{n}}=\mathop{\int }_{1}^{2}\frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\text{d}x$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$.

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{2}}$.

(5p) b) Să se demonstreze că ${{I}_{n+1}}=\text{e}-\frac{\sqrt{\text{e}}}{{{2}^{n-1}}}+(1-n){{I}_{n}}$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$.

(5p) c) Folosind, eventual, inegalitatea $0\le \frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{\text{e}}{{{x}^{n}}}$, $(\forall )\,x\in [1,2]$, $(\forall )\,n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, calculați $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}$.