Varianta 92

Prof. Teler Marian

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.  Determinaţi produsul primelor 5 zecimale ale numărului real $\sqrt{50}$

(5p) 2. Rezolvaţi ecuaţia: ${{2}^{3}}={{4}^{2x-1}}$

(5p) 3. Calculaţi modulul numărului complex: $z={{\left( \sqrt{2}-i \right)}^{6}}$

(5p) 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: ${{\log }_{2}}\left( 2-x \right)-{{\log }_{2}}\left( 2+x \right)=-1$

(5p) 5. Să se calculeze lungimea înălţimii din A a triunghiului ABC, $A(1,2),B(-1,3),C(0,4)$

(5p) 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris într-un triunghi dreptunghic care are catetele de lungimi 5 şi 12.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul $\left\{ \begin{align} & 2x+y+3z=0 \\ & 3x+2y+5z=0 \\ & x+3y+mz=0 \\ \end{align} \right.$, unde $m\in R$

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei sistemului.

(5p) b) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluţie unică.

(5p) c) În cazul $m=4$, determinaţi soluţiile $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)$ ale sistemului, cu toate componentele numere întregi,care verifică relaţia: $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}\le 3$.

2. Pe R se dau legile de compoziţie $x\bot y=x+y-3$ , $x\circ y=xy-3x-3y+12$.

(5p) a) Rezolvaţi sistemul: $\left\{ \begin{align} & x\bot y=7 \\ & x\circ y=7 \\ \end{align} \right.$ (5p) b) Calculaţi $\left( {{e}_{1}}\bot {{e}_{2}} \right)\circ {{e}_{1}}$ , unde  ${{e}_{1}}$ şi ${{e}_{2}}$ sunt elementele neutre ale operațiilor ,, $\perp$‘‘, respectiv ,, $\circ$‘‘.

(5p) c) Determinaţi $x,y\in Z$ astfel încât: $x\circ x\circ y=11$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dau funcţiile $f,g:R\to R$, $f(x)={{x}^{2}}(a-x)+2014$, $g(x)={{x}^{3}}(x-a)+2014$  

(5p) a) Să se determine $a\in R$ astfel încât tangentele la graficele celor două funcţii în punctul

$A(a,f(a))$ să fie perpendiculare. 

(5p) b) Să se demonstreze că graficul funcţiei f are puncte de inflexiune pentru orice $a\in R$

(5p) c) Să se determine $a\in R$ astfel încât graficul funcţiei g să nu admită puncte de inflexiune.

2. Se dă funcţia $f:\left( 0,\infty \right)\to R,$ $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}$

(5p) a) Să se demonstreze că orice primitivă a funcţiei f are un punct de inflexiune.

(5p) b) Calculaţi $\int{f(x)dx}$ şi $\int{f\left( \frac{1}{x} \right)dx}$

(5p) c) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}}{{{x}^{2}}}$