Varianta 93

Prof. Tomiță Liliana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve ecuația $2\cdot {{\left[ x \right]}^{2}}-3\cdot \left[ x \right]+1=0$, unde $\left[ x \right]$ reprezintă partea întreagă a lui $x$ .

(5p) 2. Determinați forma trigonometrică a numărului complex $z=1-i\sqrt{3}$.

(5p) 3. Se consideră dezvoltarea ${{\left( \sqrt[3]{x}+\sqrt{a} \right)}^{100}}$ . Să se determine termenul care conține pe ${{x}^{5}}$ .

(5p) 4. Știind că $\text{tg}a=\frac{1}{3}$ și $a\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)$ să se calculeze $\cos a$ .

(5p) 5. Arătați că vectorii $\overrightarrow{u}=6\cdot \overrightarrow{i}-5\cdot \overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v}=2\cdot \overrightarrow{i}+4\cdot \overrightarrow{j}$ formează un unghi obtuz.

(5p) 6. În sistemul cartezian de coordonate $xOy$ se consideră punctele $A\left( 3;5 \right),\text{ }B\left( -1;4 \right)$ și $C\left( 2;-2 \right)$ . Să se determine ecuația dreptei care trece prin $A$ și este paralelă cu $BC$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se dau permutările $\alpha ,\beta \in {{S}_{5}};\alpha =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}\beta =\left( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5  \\ 5 & 2 & 1 & 3 & 4  \\ \end{matrix} \right)$

(5p) a) Arătați că $\alpha \beta \ne \beta \alpha$.

(5p) b) Rezolvați ecuația $x\alpha =\beta ;x\in {{S}_{5}}$ 

(5p) c)  Determinați permutările $x\in {{S}_{5}}$ care verifică relația ${{x}^{2}}={{\beta }^{2}}$ .

2. Se consideră polinomul $f={{X}^{3}}-{{X}^{2}}+aX-1$ , unde a este un număr real.

(5p) a) Pentru $a=1,$ calculați $f\left( -1 \right)$ .

(5p) b) Pentru $a=1,$determinați rădăcinile complexe ale polinomului f

(5p) c)  Determinați numărul real a știind că $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=10,$ unde ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ sunt rădăcinile complexe ale polinomului  f

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{5}}+15{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}-90{{x}^{2}}+mx+n,\text{ }m,n\in \mathbb{R}$

(5p) a) Pentru $m=n=1,$ calculați ${{f}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{  }}}\left( x \right),\text{ }x\in \mathbb{R}$ .

(5p) b) Determinați soluțiile ecuației ${{f}^{\text{'' }}}\left( x \right)=0,\text{ }x\in \mathbb{R}$.

(5p) c)  Arătați că punctele de inflexiune la graficul funcției sunt coliniare.

2. Fie șirul ${{\left( {{\mathcal{I}}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},$ definit prin ${{\mathcal{I}}_{n}}=\int_{0}^{1}{{{\left( 1+x \right)}^{n}}{{2}^{x}}}dx,$ oricare ar fi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

(5p) a) Calculați ${{\mathcal{I}}_{1}}$ .

(5p) b) Studiați monotonia șirului ${{\left( {{\mathcal{I}}_{n}} \right)}_{n\text{ }\in \text{ }{{\mathbb{N}}^{*}}}}$.

(5p) c) Arătați că ${{\mathcal{I}}_{n}}\cdot \ln 2={{2}^{n+1}}-1-n{{\mathcal{I}}_{n-1}},$ pentru orice $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$