Varianta 93

Prof. Tomiță Liliana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve ecuația \(2\cdot {{\left[ x \right]}^{2}}-3\cdot \left[ x \right]+1=0\), unde \(\left[ x \right]\) reprezintă partea întreagă a lui \(x\) .

(5p) 2. Determinați forma trigonometrică a numărului complex \(z=1-i\sqrt{3}\).

(5p) 3. Se consideră dezvoltarea \({{\left( \sqrt[3]{x}+\sqrt{a} \right)}^{100}}\) . Să se determine termenul care conține pe \({{x}^{5}}\) .

(5p) 4. Știind că \(\text{tg}a=\frac{1}{3}\) și \(a\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\) să se calculeze \(\cos a\) .

(5p) 5. Arătați că vectorii \(\overrightarrow{u}=6\cdot \overrightarrow{i}-5\cdot \overrightarrow{j}\) și \(\overrightarrow{v}=2\cdot \overrightarrow{i}+4\cdot \overrightarrow{j}\) formează un unghi obtuz.

(5p) 6. În sistemul cartezian de coordonate \(xOy\) se consideră punctele \(A\left( 3;5 \right),\text{ }B\left( -1;4 \right)\) și \(C\left( 2;-2 \right)\) . Să se determine ecuația dreptei care trece prin \(A\) și este paralelă cu \(BC\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se dau permutările \(\alpha ,\beta \in {{S}_{5}};\alpha =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}\beta =\left( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5  \\ 5 & 2 & 1 & 3 & 4  \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Arătați că \(\alpha \beta \ne \beta \alpha \).

(5p) b) Rezolvați ecuația \(x\alpha =\beta ;x\in {{S}_{5}}\) 

(5p) c)  Determinați permutările \(x\in {{S}_{5}}\) care verifică relația \({{x}^{2}}={{\beta }^{2}}\) .

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{3}}-{{X}^{2}}+aX-1\) , unde a este un număr real.

(5p) a) Pentru \(a=1,\) calculați \(f\left( -1 \right)\) .

(5p) b) Pentru \(a=1,\)determinați rădăcinile complexe ale polinomului f

(5p) c)  Determinați numărul real a știind că \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=10,\) unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) sunt rădăcinile complexe ale polinomului  f

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{5}}+15{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}-90{{x}^{2}}+mx+n,\text{ }m,n\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Pentru \(m=n=1,\) calculați \({{f}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{  }}}\left( x \right),\text{ }x\in \mathbb{R}\) .

(5p) b) Determinați soluțiile ecuației \({{f}^{\text{'' }}}\left( x \right)=0,\text{ }x\in \mathbb{R}\).

(5p) c)  Arătați că punctele de inflexiune la graficul funcției sunt coliniare.

2. Fie șirul \({{\left( {{\mathcal{I}}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},\) definit prin \({{\mathcal{I}}_{n}}=\int_{0}^{1}{{{\left( 1+x \right)}^{n}}{{2}^{x}}}dx,\) oricare ar fi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) .

(5p) a) Calculați \({{\mathcal{I}}_{1}}\) .

(5p) b) Studiați monotonia șirului \({{\left( {{\mathcal{I}}_{n}} \right)}_{n\text{ }\in \text{ }{{\mathbb{N}}^{*}}}}\).

(5p) c) Arătați că \({{\mathcal{I}}_{n}}\cdot \ln 2={{2}^{n+1}}-1-n{{\mathcal{I}}_{n-1}},\) pentru orice \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)