Varianta 97

Prof: Viorica Lungana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine mulțimea \(A=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| \frac{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+9}{2x+1}\in \mathbb{Z} \right. \right\}\).

(5p) 2. Rezolvați sistemul: \(\left\{ \begin{matrix} \left| x-1 \right|+\left| y-5 \right|=6 \\ y=5+\left| x-1 \right| \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) 3. Fie binomul \({{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \right)}^{n}}\). Determinați n, astfel încât raportul dintre coeficientul termenului al cincilea și coeficientul termenului al treilea este \(\frac{7}{2}\).

(5p) 4. Cercetați dacă funcția \(f:\left( 1,\infty  \right)\to \left( -2,\infty  \right)\), \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x\) este bijectivă.

(5p) 5. Fie ABC un triunghi cu \(A\left( 3,2 \right)\), \(B\left( 5,4 \right)\). Dacă punctul\(G\left( 3,4 \right)\) este centrul de greutate al triunghiului ABC, să se determine coordonatele vârfului C.

(5p) 6. Arătați că valoarea expresiei  \(E=2\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)-3\left( {{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}x \right)\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricei \({{A}_{x}}=\left( \begin{matrix} -x & -1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & -x \\ x & 1 & x & 1 \\ 1 & -x & -1 & x \\ \end{matrix} \right)\in \)M4(\(\mathbb{C}\)).

(5p) a) Calculați determinantul asociat matricei \({{A}_{x}}\).

(5p) b) Determinați valorile lui x pentru care \(rang{{A}_{x}}=3\).

(5p) c) Calculați suma modulelor valorilor lui x pentru care rangul matricei \({{A}_{x}}\)este 3.

2. Fie \(G\) mulțimea matricelor de forma \(M\left( a \right)=\left( \begin{matrix} 2-a & a-1 \\ 2\left( 1-a \right) & 2a-1 \\ \end{matrix} \right)\), unde \(a\in {{\mathbb{R}}^{*}}\).

(5p) a) Să se exprime \(M\left( a \right)\) sub forma \(M\left( a \right)=A+aB\), unde A și B sunt matrice care un depind de parametrul a.

(5p) b) Să se arate că G este grup în raport cu înmulțirea matricelor.

(5p) c) Arătați că grupul \(\left( G,\cdot  \right)\) este izomorf cu grupul \(\left( {{\mathbb{R}}^{*}},\cdot  \right)\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left[ -1,1 \right]\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \frac{3{{x}^{2}}+rx-p}{x-1}, & x<0 \\ \ln \left( q{{x}^{2}}-3x+1 \right), & x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Studiați continuitatea funcției funcției f   în punctul \(x=0\).

(5p) b) În cazul când funcția este continuă în punctul \(x=0\), studiați derivabilitatea funcției în acest punct.

(5p) c) Calculați \(S={{p}^{2}}+{{q}^{2}}+{{r}^{2}}\)pentru care este valabilă teorema lui Rolle pe intervalul \(\left[ -1,1 \right]\).

2. Fie șirul \({{I}_{n}}=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left( \arcsin x \right)}^{n}}dx}\).

(5p) a) Calculați \({{I}_{0}}\) și \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Găsiți o formulă de recurență pentru șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\).

(5p) c) Studiați convergența șirului \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\).