Varianta 98

Prof: Viorica Lungana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați mulțimea \(M=\){\(m\in \mathbb{Z}\) / \({{x}^{2}}-mx+6=0\) are cel puțin o rădăcină întreagă}.

(5p) 2. Fie \(x,y,z\in \mathbb{R}\) cu \(x+y+z=1\). Demonstrați că \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 4\left( xy+yz+zx \right)-1\). În ce caz are loc egalitatea?

(5p) 3. Rezolvați ecuația \({{3}^{x}}+{{4}^{x}}=8-x,x\in \mathbb{R}\).

(5p) 4. Pentru a forma o echipă de baschet (5 jucători) un antrenor are la dispoziție 8 jucători albi

și 15 jucători de culoare. În câte moduri poate alcătui antrenorul echipa?

(5p) 5. Se dă vectorul \(\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\). Care este mulțimea punctelor M din plan care verifică relația \(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)?

(5p) 6. Fie \(\alpha \)și \(\beta \) numere reale astfel încât \(\sin \alpha +\sin \beta =1\) și \(\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{2}\). Calculați \(\cos \left( \alpha -\beta  \right)\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuații \(\left\{ \begin{matrix} 2x-y+z-t=1 \\ x+y+mz+t=-1 \\ x-y+z+nt=p \\ \end{matrix} \right.,m,n,p\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Determinați m, n reali astfel încât matricea sistemului să aibă rangul 2.

(5p) b) În cazul în care rangul matricei sistemului este doi, determinați p pentru care sistemul este compatibil.

(5p) c) Dacă rangul matricei sistemului  este doi și sistemul este compatibil, determinați soluțiile sistemului.

2. Se consideră polinoamele \(f,g\in \mathbb{R}\left[ X \right]\), \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+bX+c\), \(g={{X}^{3}}+\left( a+p \right){{X}^{2}}+\left( b+p \right)X+c+p\), unde \(p\ne 0\).

(5p) a) Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația \({{x}^{3}}-1=0\).

(5p) b) Arătați că polinoamele au cel puțin o rădăcină comună.

(5p) c) Ce relație există între \(a,b,c\), pentru ca cele două polinoame să aibă o rădăcină comună.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \frac{3{{x}^{2}}+nx-p}{x-1}, & x<0 \\ \ln \left( r{{x}^{2}}-3x+1 \right), & x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) a) Să se determine n și p astfel încât funcția f  să fie continuă și derivabilă în \(x=0\).

(5p) b) Să se verifice pe intervalul \(\left[ -1,1 \right]\) condițiile teoremei lui Rolle.

(5p) c) Să se scrie ecuația tangentei în origine la graficul funcției determinate.

2. Se dă funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \inf \left( {{t}^{2}}-2t \right), & t\le 3 \\ \sup \left( 8-3t \right), & t>3 \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) a) Să se arate că \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} {{x}^{2}}-2x, & x\le 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -1, & x\in \left( 1,3 \right] \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 8-3x, & x>3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx}\).

(5p) c) Pe intervalul \(\left[ 0,4 \right]\) construiți graficul funcției și calculați: aria suprafeței plane limitată de graficul funcției și axa Ox și volumul corpului de rotație generat de graficul funcției în jurul axei Ox.