Varianta 100

Prof: Badea Daniela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi suma primilor 40 de termeni ai unei progresii aritmetice ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}$ştiind că ${{a}_{6}}+{{a}_{12}}+{{a}_{22}}+{{a}_{42}}=40$.

(5p) 2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3x+1.$Rezolvaţi în $\mathbb{R}$ecuaţia $f\left( \left[ x \right] \right)=0$, unde $\left[ x \right]$este partea întreagă a lui x.

(5p) 3. Determinaţi funcţia de gradul al doilea care are valoarea maximă  $\frac{3}{4}$şi al cărei grafic conţine punctul$A\left( 0,-1 \right)$şi are ca axă de simetrie dreapta $d:2x-1=0.$

(5p) 4. Fie binomul ${{\left( 3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[5]{x}} \right)}^{n}},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ i }x>0$. Aflaţi n ştiind că suma tuturor coeficienţilor dezvoltării este cu 992 mai mare decât suma coeficienţilor binomiali.

(5p) 5. Fie punctele A, B, C de afixe $z{}_{1}=3+i,\text{ }{{z}_{2}}=1-3i,\text{ }{{z}_{3}}=i.$Demonstraţi că triunghiul ABC este obtuzunghic.

(5p) 6. Calculaţi $E=\frac{3+\sin x+5\cos x}{2+3\sin x-\cos x}\text{ tiind c }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{  tg}\frac{x}{2}=\frac{1}{5}.$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele ${{A}_{x}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ x & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right).$

(5p) a) Arătaţi că matricea ${{A}_{1}}$este inversabilă şi calculaţi inversa ei;

(5p) b) Calculaţi ${{A}_{x}}^{n};n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$;

(5p) c) Determinaţi valorile lui x pentru care matricele ${{B}_{n}}={{A}_{x}}^{n}+{{A}_{x}}^{n+1}+{{A}_{x}}^{n+2},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$sunt inversabile;

2. Fie polinoamele $f={{\left( {{X}^{2}}-X-1 \right)}^{2012}}+{{X}^{2}}+X+1\text{ i }g={{X}^{2}}-3X+2$.

(5p) a) Aflaţi restul împărţirii lui f la g;

(5p) b) Aflaţi restul împărţirii lui f (3) la 13;

(5p) c) Calculaţi $s=\sum\limits_{k=3}^{n}{g\left( k \right)}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}$.

(5p) a) Aflaţi ecuaţia asimptotei spre $-\infty$;

(5p) b) Studiaţi derivabilitatea funcţiei f ;

(5p) c) Stabiliţi natura punctelor  ${{x}_{1}}=0\text{ i }{{x}_{2}}=1$.

2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-2 \right).$

(5p) a) Arătaţi că aria domeniului cuprins între graficul funcţiei f , axa absciselor şi dreptele de ecuaţii $x=0\text{ i }x=1$are valoarea e ;

(5p) b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ F}\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}$;

(5p) c) Calculaţi $L=\underset{x\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{\sin x}{f\left( t \right)dt}}{\sin x}.$