Varianta 14

Prof.  Brabeceanu Silvia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine conjugatul numărului complex $z=\frac{3-2i}{1+i}+\frac{2+3i}{2-i}$.

(5p) 2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$exprimată prin relaţia $f\left( x \right)={{2}^{x}}+x$. Să se calculeze $f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\cdots +f\left( 8 \right)$

(5p) 3. Să se determine numărul real x astfel încât ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 7+5x \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)$.

(5p) 4. Fie mulţimea $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}$. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element $n\in A$ acesta să verifice inegalitatea $n!\ge {{n}^{2}}$.

(5p) 5. Fie vectorii $\overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$şi $\overrightarrow{BC}=-7\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$. Să se calculeze $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$.

(5p) 6. Ştiind că $\sin {{15}^{0}}-\cos {{15}^{0}}=a$ să se calculeze valoarea expresiei $\sin {{75}^{0}}+\cos {{75}^{0}}-a$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea ${{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)$se consideră matricea $A=\left( \begin{matrix}1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2  \\ 1 & -3 & 2  \\\end{matrix} \right)$ şi $X\left( m \right)=mA+{{I}_{3}}$.

(5p) a) Calculaţi ${{A}^{2}}$.

(5p) b) Să se calculeze $M=2\cdot A+{{2}^{2}}\cdot {{A}^{2}}+\cdots +{{2}^{2014}}\cdot {{A}^{2014}}$.

(5p) c) Să se arate că $X\left( m \right)\cdot X\left( n \right)=X\left( m+n \right)$şi să se verifice dacă $X\left( m \right)$este inversabilă.

2. Fie polinomul $f={{X}^{3}}-a{{X}^{2}}+3X-1\in \mathbb{C}\left[ X \right]$cu ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ rădăcini şi a este număr real.

(5p) a) Calculaţi $f\left( 1 \right)-f\left( -1 \right)$.

(5p) b) Determinaţi restul împărţirii polinomului  f  la $x-1$, ştiind că restul împărţirii polinomului   f  la $x+1$ este 3.

(5p) c) Determinaţi numerele reale a pentru care $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.  Se consideră funcţia $f:\left( 0,\infty  \right)\to \mathbb{R},\text{  }f\left( x \right)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}$.

(5p) a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei.

(5p) b) Să se determine constantele reale a şi b astfel încât funcţia $F\left( x \right)=\left( ax+b \right)\sqrt{x}$să verifice condiţia ${F}''\left( x \right)=f\left( x \right),\text{  }x\in \left( 0,\infty  \right)$.

(5p) c) Să se determine $\text{ }x\in \left( 0,\infty  \right)$astfel încât ${{x}^{2}}\cdot {f}''\left( x \right)+x\cdot {f}'\left( x \right)\text{=}\sqrt{x}-1$.

2.  Se consideră şirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$,definit prin ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+x}dx},\text{ }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) a) Calculaţi ${{I}_{1}}$şi ${{I}_{2}}$.

(5p) b) Arătaţi  că ${{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},\text{  }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) c) Folosind eventual metoda de integrare prin părţi , arătaţi că  $n{{I}_{n}}=\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}dx,\text{ }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}$. 

CLICK PE BAREM