Varianta 17

Prof. Ciocănaru Viorica

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi numărul real x pentru care numerele 3, x + 1 şi 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu termini pozitivi, apoi scrieţi suma termenilor.

(5p) 2. Determinaţi numerele reale nenule a și b astfel încât funcţia f : R$\to$R  f (x) = a${{x}^{2}}+bx+1$ să admită vârful V(1, 2), punct de maxim.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ${{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}}={{2}^{x-2}}$.

(5p) 4. Determinaţi numerele naturale pare $\overline{ab}$ care se pot forma, ştiind că a, b$\in${4, 5, 6, 7}.

(5p) 5. Se consideră dreapta d : y = $\frac{-4x+1}{7}$ şi punctul M (-2,  -1). Determinaţi distanţa de la punctul M la dreapta d.

(5p) 6. Transformaţi în produs  E(a) = sin a – sin 5a și calculaţi E($\frac{\pi }{6}$) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea A$\in$M₃ (R) A = $\begin{pmatrix}p & p & p \\ p & p & p  \\ p & p & p  \\ \end{pmatrix}$ ,  p$\in$R .

(5p) a) Calculaţi  A² .

(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I₃) det (A + I₃).

(5p) c) Arătaţi că Aⁿ = (3p)^n-1 $\cdot$A, $\forall$n$\in$N^*,$\forall$p$\in$R şi calculaţi A²⁰¹⁴.

2. Se consideră polinomul f$\in$R[X],  f = X³ - 2X² - X + m unde m este număr real și ecuaţia x⁴- 5x³+ 5x² + 5x – 6 = 0 cu rădăcinile x₁, x_2, x_3, x_4.

(5p) a) Determinaţi m, număr real, pentru ca  -$\sqrt{2}$să fie rădăcină pentru f.

(5p) b) Determinaţi rădăcinile ecuaţiei.

(5p) c) Calculaţi f (x₁) + f (x₂) + f (x₃) ₊  f(x₄) unde  x₁, x_2, x_3, x₄ sunt rădăcinile ecuaţiei.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia  f: D $\to$R,  f (x) = $\ln \frac{x+3}{x-3}$.

(5p) a) Determinaţi D domeniul de definiţie al funcţiei f şi cercetaţi dacă funcţia are asimptote verticale.

(5p) b) Calculaţi f ’(x), unde  x$\in$D.

(5p)c) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf(x)$.

2. Se consideră funcţiile f: R$\to$R, f(x) = cos x şi g: [0, $\frac{\pi }{2}$)$\to$R, g(x) = ${{2}^{tgx}}$.

(5p) a) Calculaţi $\int\limits_{{}}^{{}}{{{f}^{2}}(x)}dx$.

(5p) b) Calculaţi volumul corpului determinat de rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g(x)/ f(x) pentru x$\in$[0, $\frac{\pi }{4}$].

(5p) c) Dacă I_n =$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{{{f}^{n}}(x)}dx$,  n$\in$N*, stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru I_n.

BAREM PENTRU AUTOEVALUARE