Varianta 22

Prof. Cristea Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi $\frac{1}{{{2}^{1005}}}{{(1+i)}^{2010}}$

(5p) 2. Să se determine   astfel încât tripletul:$\sqrt{x-3},1+\sqrt{x-2},2+\sqrt{3x-5}$  să constituie termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia ${{4}^{x}}-{{2}^{x}}-12=0$  .

 5p) 4. Se consideră mulţimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ . Să se calculeze probabilitatea ca alegând la întamplare o submulţime dintre  submulţimile nevide ale mulţimii  aceasta să aibă toate elementele pare.

(5p) 5.Să se determine numărul real  știind că vectorii$\overrightarrow{u}=(m-3)\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\,i\,\overrightarrow{u}=8\overrightarrow{i}-(15-m)\overrightarrow{j}$  sunt perpendiculari.

(5p) 6. Determinaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului cu laturile de lungimi 6,8 , respectiv 10.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

(5p) 1. Fie mulţimea$G=(1,2)\cup (2;+\infty )$   şi legea de compoziţie “*” pe $G$ definită prin $x*y=1+{{(x-1)}^{\ln \sqrt{y-1}}}$  , oricare ar fi $x,y\in G.$

(5p) a) Să se arate că legea de compoziţie “*” este bine definită.

(5p) b) Să se arate că legea de compoziţie “*” este comutativă.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia $x*{{e}_{1}}-1=2$ , unde ${{e}_{1}}$  este elementul neutru a legii de compoziţie “*”.

(5p) 2. Se consideră numărul $a=\frac{\sqrt{10}-i\sqrt{2}}{2}$ şi polinomul $f\in \mathbb{Q},f={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+9$.   

(5p) a) Să se arate că $f(a)=0.$

(5p) b) Să se arate că polinomul $f$  reductibil în $\mathbb{R}[x]$  şi în $\mathbb{C}[x]$ şi ireductibil în $\mathbb{Q}[x]$.

(5p) c) Să se calculeze $a_{1}^{6}+a_{2}^{6}+a_{3}^{6}+a_{4}^{6}$ , unde $a_{1}^{6},a_{2}^{6},a_{3}^{6},a_{4}^{6}$  sunt rădăcinile polinomului.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)             

1. Se consideră funcţiile $f:(-1;+\infty )\to \mathbb{R},\,f(x)=\ln (1+x)-x\,$ şi $g:(-1,+\infty )\to \mathbb{R},\,g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{{{x}^{2}}}{2}.$

(5p) a) Să se verifice că $f'(x)=\frac{-x}{1+x}\,i\,g'(x)=\frac{{{x}^{2}}}{1+x},\,\forall x>-1$  

(5p) b) Să se arate că$f(x)<0<g(x),\,\forall x>0$   

(5p) c) Să se calculeze$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(\ln (1+\frac{1}{{{n}^{2}}})+\ln (1+\frac{3}{{{n}^{2}}})+\ln (1+\frac{2n-1}{{{n}^{2}}}))$  , ştiind că $1+3+5+...+{{(2n-1)}^{2}}={{n}^{2}}$ şi $\,{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{(2n-1)}^{2}}=\frac{n(4{{n}^{2}}-1)}{3},\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

2. Se consideră funcţiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,f(x)=1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{2002}}\,$ şi $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,F(x)=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt,\,\forall x\in \mathbb{R}}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
   

(5p) a) Să se calculeze $f(1)$

(5p) b) Să se arate că $F'(x)=f(x)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$

(5p) c)  Ştiind că funcţia $F(x)$  este bijectivă, să se calculeze $\int\limits_{0}^{a}{g(x)dx}$, unde $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$  reprezintă  inversa funcţiei $F(x)$ şi $a=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}$ .