Varianta 37

Prof. Isofache Cătălina Anca

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi $\left| {{z}^{3}} \right|+\left| {{\overline{z}}^{3}} \right|$,dacă $z=-i+\sqrt{3}$.

(5p) 2.Determinaţi mulţimea punctelor de intersecţie dintre graficele funcţiilor $f:R\to R$, $f(x)=2{{x}^{2}}-3x+1$ şi $g:R\to R$, g(x)=2-2x.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: ${{9}^{x}}-18\cdot {{6}^{x-1}}+{{2}^{2x+1}}=0$.

(5p) 4. Calculaţi rangul termenului ce nu conţine x din dezvoltarea binomului:${{\left( x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{100}}$.

(5p) 5. Determinaţi  valorile parametrului real m, ştiind că dreptele de ecuaţii (m+1)x-2y-5=0 şi 4x-(m-1)y+7=0 sunt paralele.

(5p) 6. Calculaţi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$,unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 1 & a & b \\ 1 & {{a}^{2}} & {{b}^{2}} \\ 1 & {{a}^{3}} & {{b}^{3}} \\ \end{matrix} \right)$ şi $B=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ bc & ac & ab \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\ \end{matrix} \right)$.

(5p) a) Arătaţi că detA=ab(a-1)(b-1)(b-a) şi detB=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).

(5p) b) Demonstraţi că $\det (A\cdot \ {}^{T}A)\ge 0$,unde ${}^{T}A$ este transpusa matricei A.

(5p) c) Calculaţi $\det (A\ -\ {}^{T}A)$.

2. Se consideră polinomul $f\in C[X]$,$f={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1$cu rădăcinile ${{x}_{k}},k=\overline{1;4}$.

(5p) a) Arătaţi că (x+1)f(x)=${{x}^{5}}+1$.

(5p) b) Calculaţi $\sum\limits_{k=1}^{4}{x_{k}^{5}}$.

(5p) c) Demonstraţi că polinomul f nu are nicio rădăcină reală.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:(0;\infty )\to R$, $f(x)=\ln (x+1)-\ln x$.

(5p) a) Calculaţi asimptotele la graficul funcţiei f.

(5p) b) Stabiliţi intervalele de monotonie ale funcţiei f.

(5p) c) Arătaţi că  şirul ${{a}_{n}}=\ln (n+2)-\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}$este convergent.

2. Se consideră funcţia $f:R\to R$, $f(x)=\frac{1}{\cos x+2}$.

(5p) a) Calculaţi $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)\sin xdx}$.

(5p) b) Arătaţi că funcţia f admite primitive care sunt strict crescătoare pe R.

(5p) c) Calculaţi $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}$.