Varianta 41

Prof. Lămătic Lidia Carmen

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi raţia progresiei geometrice ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$, cu termeni pozitivi, dacă ${{a}_{2}}+{{a}_{3}}=4$ şi ${{a}_{4}}+{{a}_{5}}=36.$

(5p) 2. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{2}^{3-x}}-4$ cu axele de coordonate.

(5p) 3. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia $\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}=x-1.$

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegînd la întâmplare un număr natural de trei cifre distincte, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 5

(5p) 5. Se consideră vectorii $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+a\overrightarrow{j}$ şi $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}.$ Să se arate că unghiul format de cei doi vectori este ascuţit dacă şi numai dacă $a>3.$

(5p) 6. Arătaţi că $\sqrt{2}\left( {{\cos }^{2}}\frac{\pi }{8}-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{8} \right)=1.$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie sistemul de ecuaţii liniare $\left\{ \begin{matrix} mx+y+z=3 \\ x+my+z=5 \\ x+y+mz=7 \\ \end{matrix} \right.,$ unde $m\in \mathbb{R}.$

(5p) a) Să se determine$m\in \mathbb{R}$ astfel încât sistemul să fie compatibil determinat.

(5p) b) Rezolvaţi sistemul pentru $m\in \mathbb{R}-\{-2,1\}$.

(5p) c) Determinaţi $m\in \mathbb{R}$ astfel încât soluţia $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)$ este progresie aritmetică cu raţia 2.

2. Fie $a\in \mathbb{R}_{+}^{*}$şi ${{I}_{a}}=(a,\infty )$. Pe $\mathbb{R}$ se defineşte legea de compoziţie $x\circ y=xy-2x-2y+6$.

(5p) a) Să se determine $a\in \mathbb{R}_{+}^{*}$ pentru care ${{I}_{a}}$ este parte stabilă pentru această lege de compoziţie.

(5p) b) Ştiind că $({{I}_{2}},\circ )$ este grup abelian, să se calculeze inversul elementului 2014.

(5p) c) Să se arate că $f:(\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot )\to ({{I}_{2}},\circ )$, $f(x)=x+2$ este izomorfism de grupuri.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:(-a,a)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \frac{a+x}{a-x}$, $a\in \mathbb{R}_{+}^{*}$.

(5p) a) Cercetaţi dacă funcţia admite asimptote.

(5p) b) Demonstraţi că ecuaţia $f(x)=0$ are soluţie unică.

(5p) c) Determinaţi intervalele de convexitate ale funcţiei.

2. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{e}^{2x}}.$

(5p) a) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe $\mathbb{R}$.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}.$

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei $g:[-1,1]\to \mathbb{R},$ $g(x)={{f}^{2}}(x)-{{e}^{4x}}+x-2$ în jurul axei Ox.