Varianta 49

Prof: Nicolaescu Nicolae.

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Se consideră funcţia $f:R\to R$, f(x)=2-3x.Arătaţi că fof este crescătoare.

(5p) 2. Să se rezolve în R ecuaţia ${{2}^{x}}+{{2}^{1-x}}=3$.

(5p) 3. Care este probabilitatea ca alegând un element $k\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$, numărul $C_{6}^{k}$ să fie par?

(5p) 4. Determinaţi $z\in C,\,z=a+bi,\,\ a,b\in Z$astfel încât  $\left| z \right|=2$.

(5p) 5. Să se determine ecuaţia înălţimii AM  a $\Delta ABC$, unde A(-1,3),B(0,6),C(5,-2).

(5p) 6. Să se calculeze sin2x, dacă $\cos x=\frac{3}{7},x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul $\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}x+by+cz=-1 \\ & ax+{{b}^{2}}y+cz=-1 \\ & ax+by+{{c}^{2}}z=-1 \\ \end{align} \right.$ şi fie $A=\left( \begin{matrix} {{a}^{2}} & b & c \\ a & {{b}^{2}} & c \\ a & b & {{c}^{2}} \\ \end{matrix} \right)$ matricea sistemului.

(5p) a) Să se arate că există a,b,c nenule astfel încât detA=0.

(5p) b) Rezolvaţi sistemul pentru a=2, b=1, c=1.

(5p) c) Determinaţi a,b,c$\in R$astfel încât sistemul să admită soluţia $x=y=z=1$.

2. Pe $\left( -\infty ,1 \right)$definim legea $x*y=1-{{\left( 1-x \right)}^{{{\log }_{2}}\left( 1-y \right)}}$.

(5p) a) Arătaţi că legea este asociativă.

(5p) b) Să se determine elementul neutru al legii.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia $x*x*x=x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:R\to R$, $f(x)={{x}^{4}}-4x+3$.

(5p) a) Să se calculeze $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 1 \\ x<1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}$.

(5p) b) Arătaţi că f este descrescătoare pe $\left( -\infty ,1 \right)$.

(5p) c) Determinaţi $m,n\in R$, astfel încât $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}-\left( m{{x}^{2}}+n \right)=5$.

1. Fie funcţia $f:R\to R$, $f(x)=\ln \left( 1+{{e}^{x}} \right)$.

(5p) a) Să se arate că orice primitivă a lui f este crescătoare pe R.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{1}{\ln \left( 1+{{e}^{x}} \right){{e}^{x}}dx}$.

(5p) c) Calculaţi derivata funcţiei $g:\left( 0,\infty  \right)\to R,\,g\left( x \right)=\int\limits_{0}^{\ln x}{f(t)dt}$.