Varianta 53

Prof.  Oancea Cristina

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Calculati $({{3}^{0}}+{{3}^{1}}+{{.....3}^{2014}})\cdot \frac{2}{{{3}^{2015}}-1}$

(5p) 2.Cate numere de 3 cifre se pot forma cu elementele multimii {0,1,2,3,4,5}?

(5p) 3.Calculati  (1-i)$^{2014}$ -${{(1+i)}^{2014}}$

(5p) 4. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei $f:R\to R,f(x)={{x}^{2}}-5x+6$

(5p) 5. Fie vectorii $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ care verifica relatiile $\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=3$ si $m(\sphericalangle \alpha )={{30}^{0}}$ .Calculati $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

(5p) 6. Calculati $\sin {{35}^{\circ }}+\cos {{35}^{\circ }}+\cos {{145}^{\circ }}-\sin {{145}^{\circ }}$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matrices A=$\left( \begin{matrix} 5 & {{0}_{{}}} \\ 0 & {{5}_{{}}} \\ \end{matrix} \right)$ si I$_{2}$=$\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ ,O$_{2}$= $\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

(5p) a) Stiind ca A$^{n}$ =$\left( \begin{matrix} {{5}^{n}} & 0 \\ 0 & {{5}^{n}} \\ \end{matrix} \right)$ sa se calculeze ${{A}^{1}}+{{A}^{2}}+{{A}^{^{3}}}+.......+{{A}^{2014}}$

(5p) b) Sa se calculeze ${{A}^{-1}}$

(5p) c) Sa se rezolve ecuatia det(A$^{n}$ )=3$\cdot {{5}^{2n}}-1250$

2. Fie polinoamele $f(x)={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-44x-32$ si $g(x)=x-8$

(5p) a) Sa se determine catul si restul impartirii polinomului f(x) la g(x)

(5p) b) Sa se calculeze x$_{1}^{2}$+x$_{2}^{2}$+x$_{3}^{2}$ +x$_{4}^{2}$

(5p) c) Sa se descompuna polinomul f(x) in produs de factori ireductibili.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia $f(x):R\to R,f(x)=({{x}^{2}}-1)\cdot \ln x$

(5p) a) Rezolvati ecuatia $f(x)$ +${f}'(x)$ =0

(5p) b) Precizati intervalele de monotonie ale functiei.

(5p) c) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul de abscisa 1.

2. Pentru $\forall n\in N$ se considera functiile ${{f}_{n}}:\left[ -2;2 \right]\to R,{{f}_{n}}(x)=\frac{{{(x-2)}^{n}}}{x+3}$ si integralele I$_{n}$ =$\int\limits_{-2}^{2}{{{f}_{n}}}(x)dx$

(5p) a) Sa se calculeze I$_{1}$ .

(5p) b) Sa se calculeze $\int\limits_{-2}^{2}{(x+3){{f}_{1}}}(x)dx$

(5p) c) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia , in jurul axei Ox a graficului

$g(x)=(x+3)\cdot {{f}_{2}}(x)$ pentru x $\in \left[ 0,2 \right]$