Varianta 56

Prof.  Oláh Csaba

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se demonstreze că ${{\left( 1+i \right)}^{100}}+{{\left( 1-i \right)}^{100}}\in Z$.

(5p) 2. Fie funcţiile $f,g:R\to R$,$f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+5$,$g\left( x \right)=4x-7$. Să se afle coordonatele punctelor de întâlnire ale graficelor lui $f$şi g.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia ${{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{x}}+{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{x}}=2$, $x\in R$.

(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegând un număr de trei cifre, acesta sa fie format din cifre  prime distincte.

(5p) 5. Fie vectorii $\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{i}+\left( m+2 \right)\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v}=\left( 1-m \right)\overrightarrow{i}+\left( m-1 \right)\overrightarrow{j}$, $m\in R$. Să se afle $m$, dacă $\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{2}$.

(5p) 6. În triunghiul $ABC$ se cunosc: $AB=12cm,BC=16cm$şi $AC=20cm$. Să se afle lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea $A\left( m \right)=\left( \begin{matrix} m-1 & -1 & 0 \\ 0 & m+1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)$.

(5p) a) Să se afle $m$, ştiind că $rangA\left( m \right)=3$;

(5p) b) Să se determine ${{A}^{-1}}\left( 2 \right)$;

(5p) c) c) Să se rezolve ecuaţia $\det \left( A\left( m \right)\cdot A\left( m-1 \right) \right)=-1$, $m\in R$.

2. Fie polinomul $f\in R\left[ X \right]$, $f={{X}^{5}}-2{{X}^{4}}+6{{X}^{3}}-12{{X}^{2}}+5X-10$.

(5p) a) Să se demonstreze că $f$nu are toate rădăcinile reale;

(5p) b) Să se determine o rădăcină reală a lui $f$;

(5p) c) Să se demonstreze că $f$are patru rădăcini complexe diferite.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:R\backslash \left\{ -4 \right\}\to R$, $f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+9x+1}{x+4}$.

(5p) a) Să se studieze monotonia funcţiei $f$ pe domeniul maxim de definiţie;

(5p) b) Să se determine asimptotele lui $f$;

(5p) c) Să se calculeze limita $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{f\left( x \right)}{2x} \right)}^{2x+1}}$.

2. Se consideră integrala ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+x}dx}$, $n\in {{N}^{*}}$.

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{1}}$;

(5p) b) Să se arate că ${{I}_{n+1}}=\frac{1}{n+1}-{{I}_{n}}$;

(5p) c) Să se calculeze ${{I}_{6}}$.