Varianta 58

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Determinați numărul elementelor mulțimii $A=\left\{ \left. x\in \mathbb{Z} \right|\left| 2x-1 \right|\le 9 \right\}.$

(5p) 2.Determinați coordonatele punctelor de intersecție a dreptei $y=2x-1$ cu parabola $y=3{{x}^{2}}-3x+1$.

(5p) 3.Rezolvați în $\mathbb{R}$ecuația $\sqrt[3]{8-3x}=2-x$.

(5p) 4.Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării ${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2012}}$.

(5p) 5.Calculați distanța de la punctul $A\left( 1,2 \right)$la dreapta determinată de punctele $B\left( 2,0 \right)$ și $C\left( 0,2 \right)$.

(5p) 6. Știind că $x\in \left( \pi ,\frac{3\pi }{2} \right)$ și $\cos 2x=\frac{1}{2},$ calculați $\cos x$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul de ecuații $\left\{ \begin{matrix} x-my+{{m}^{2}}z=0 \\ -mx+{{m}^{2}}y+z=0 \\ {{m}^{2}}x+y-mz=0 \\ \end{matrix} \right.$,unde $m\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Determinați valorile lui $m$ pentru care determinantul matricei sistemului este nul.

(5p) b) Arătați că, pentru nicio valoare a lui $m$,sistemul un are o soluție $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)$ cu ${{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}$ numere reale strict pozitive.

(5p) c) Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de 2,oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

2.Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x*y=\frac{1}{3}\left( 2x+2y-xy+2 \right)$.

(5p) a)Verificați dacă legea de compoziție $_{''}{{*}^{''}}$ este asociativă.

(5p) b)Arătați că legea de compoziție  $_{''}{{*}^{''}}$ admite element neutru.

(5p) c)Rezolvați ecuația $x*x*x*x=-1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2012$.

(5p) a)Calculați  $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{f\left( -x \right)}$.

(5p) b)Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe intervalul  $\left[ 1,+\infty  \right)$.

(5p) c) Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $f\left( x \right)=m$ are trei soluții reale distincte.

2. Se consideră șirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{x+2012}}dx$.

(5p) a) Calculați ${{I}_{2}}$.

(5p) b) Arătați că ${{I}_{n+1}}\le {{I}_{n}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ și ${{I}_{n+1}}+2012{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},$$\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

(5p) c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}$.