Varianta 80
Prof. Stan Adrian
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Dacăa=√9+6√2−√9−6√2 , să se calculeze (a−2√3)2.
(5p) 2. Să se calculeze suma 3 + 10 + 17 +….+ 192 ;
(5p) 3. Știind că x1,x2sunt rădăcinile ecuației x2+4x+1=0să se calculeze x1−1x1+2+x2−1x2+2.
(5p) 4. Să se rezolve ecuația lg(x−3)+2lg(x−1)=3lg(x−2).
(5p) 5. Să se calculeze sin(900+x)+cos(1800−x)+sin(1800−x)+cos(900+x).
(5p) 6. În triunghiul ABC se cunosc AB=8, BC=5 și cosB=45. Se cere să se determine sin A.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră matricele A=(x+1−122x+3−121x+1), x∈R.
(5p) a) Să se calculeze A(3)⋅A(−3);
(5p) b) Să se arate că det(A(x)+A(−x))=0;
(5p) c) Să se rezolve ecuaţia det(A(x))=0.
- Fie f,g∈R[X],f(X)=X3+mX2+nX+p, g(X)=X2+X−2.
(5p) a) Să se determine p∈Rastfel încât f(2) = 2(2m+n+9).
(5p) b) Pentru p=10, să se determine m,n∈Rastfel încât f să se dividă prin g ;
(5p) c) Pentru m= - 4, n= -7, şi p = 10, să se calculeze produsul f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅.....⋅f(2010).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- 1. Fie funcţia f:(0,∞)→R,f(x)=x2(1+lnx);
(5p) a) Să se calculeze limx→1f(x)−f(1)x−1;
(5p) b) Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate ale funcţiei f;
(5p) c) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul lui f în punctul de abcisă x0=1.
- Fie f:R→R, f(x)={ax2+bx+c,x⟨1ln(x2−4x+4),x≥1
(5p) a) Să se determine a,b∈Rastfel încât f(x) să admită primitive pe R;
(5p) b) Să se arate că orice primitivă a lui f este convexă pe (2;∞).
(5p) c) Pentru a=−4,b=6să se calculeze 1∫01f(x)dx.