Varianta 85
Prof. Szép Gyuszi
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația (2x−3)2=−9.
(5p) 2. Arătați că vârful parabolei y=x2−2(3m+1)x+mse află sub axa Oxpentru orice m∈R.
(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log2√x+3=1.
(5p) 4. Să se determine termenul care conține pe x3 în dezvoltarea (x+2x)7, unde x>0.
(5p) 5. Fie hexagonul regulat ABCDEFG. Să se descompună vectorul →AD după vectorii →AB și →AF.
(5p) 6. Știind că a∈(π2;π) și sina=35, să se calculeze tga.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Fie m∈R și punctele A(m,2), B(m−1,3) și C(2m,2−m). Considerăm matricea M=(m21m−1312+m2−m1).
(5p) a) Determinați m∈R pentru care matricea M este inversabilă.
(5p) b) Arătați că punctele A, B și C sunt coliniare.
(5p) c) Să se arate că rang(M)≥2, pentru orice m∈R.
- Fie Z15={ˆ0,ˆ1,ˆ2,…,^14} inelul claselor de resturi modulo 15.
(5p) a) Să se arate că suma elementelor inelului este egală cu ˆ0.
(5p) b) Rezolvați în Z15 ecuația ˆ2⋅x=ˆ6.
(5p) c) Să se determine numărul elementelor neinversabile ale inelului.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:R→R, f(x)=3√x3−7x2+11x−5.
(5p) a) Să se calculeze lim.
(5p) b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcției f.
(5p) c) Să se determine punctele de extrem ale funcției f.
- Fie șirul {{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 2}} dat prin termenul general {{I}_{n}}=\mathop{\int }_{1}^{2}\frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\text{d}x, pentru orice n\in \mathbb{N}, n\ge 2.
(5p) a) Să se calculeze {{I}_{2}}.
(5p) b) Să se demonstreze că {{I}_{n+1}}=\text{e}-\frac{\sqrt{\text{e}}}{{{2}^{n-1}}}+(1-n){{I}_{n}}, pentru orice n\in \mathbb{N}, n\ge 2.
(5p) c) Folosind, eventual, inegalitatea 0\le \frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{\text{e}}{{{x}^{n}}}, (\forall )\,x\in [1,2], (\forall )\,n\in \mathbb{N}, n\ge 2, calculați \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}.