FaceBook  Twitter  

Varianta 85

Prof.  Szép Gyuszi

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe ecuația (2x3)2=9.

(5p) 2. Arătați că vârful parabolei y=x22(3m+1)x+mse află sub axa Oxpentru orice mR.

(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația log2x+3=1.

(5p) 4. Să se determine termenul care conține pe x3 în dezvoltarea (x+2x)7, unde x>0.

(5p) 5. Fie hexagonul regulat ABCDEFG. Să se descompună vectorul AD după vectorii AB și AF.

(5p) 6. Știind că a(π2;π) și sina=35, să se calculeze tga.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Fie mR și punctele A(m,2), B(m1,3) și C(2m,2m). Considerăm matricea M=(m21m1312+m2m1).

(5p) a) Determinați mR pentru care matricea M este inversabilă.

(5p) b) Arătați că punctele A, B și C sunt coliniare.

(5p) c) Să se arate că rang(M)2, pentru orice mR.

  1. Fie Z15={ˆ0,ˆ1,ˆ2,,^14} inelul claselor de resturi modulo 15.

(5p) a) Să se arate că suma elementelor inelului este egală cu ˆ0.

(5p) b) Rezolvați în Z15 ecuația ˆ2x=ˆ6.

(5p) c) Să se determine numărul elementelor neinversabile ale inelului.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția f:RR, f(x)=3x37x2+11x5.

(5p) a) Să se calculeze lim.

(5p) b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcției f.

(5p) c) Să se determine punctele de extrem ale funcției f.

  1. Fie șirul {{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 2}} dat prin termenul general {{I}_{n}}=\mathop{\int }_{1}^{2}\frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\text{d}x, pentru orice n\in \mathbb{N}, n\ge 2.

(5p) a) Să se calculeze {{I}_{2}}.

(5p) b) Să se demonstreze că {{I}_{n+1}}=\text{e}-\frac{\sqrt{\text{e}}}{{{2}^{n-1}}}+(1-n){{I}_{n}}, pentru orice n\in \mathbb{N}, n\ge 2.

(5p) c) Folosind, eventual, inegalitatea 0\le \frac{1}{{{x}^{n}}}{{\text{e}}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{\text{e}}{{{x}^{n}}}, (\forall )\,x\in [1,2], (\forall )\,n\in \mathbb{N}, n\ge 2, calculați \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}.