Varianta 9

Prof. Badea Ion

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătaţi că numărul $N=\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{{{\left( 1-\sqrt{2} \right)}^{2}}}+1-\sqrt{3}$este natural.

(5p) 2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+mx+3,m\in \mathbb{R}.$Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât ${{G}_{f}}\bigcap Ox\ne \Phi .$

(5p) 3. Aflaţi valorile reale ale lui x astfel ăncât numerele ${{3}^{x+1}},{{9}^{x}},5\cdot {{3}^{x}}-6$sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 4. Determinaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea $\left\{ C_{11}^{k}|k\in \mathbb{N},0\le k\le 11 \right\}$acesta să fie divizibil cu 11.

(5p) 5. Care sunt coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC unde A(3,0), B(2,2) si C(-1,-2)?

(5p) 6. Fie vectorii $\overrightarrow{u}=\left( {{m}^{2}}-1 \right)\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\text{ i }\overrightarrow{v}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};m\in \mathbb{R}.$ Aflaţi valorile parametrului real m astfel încât vectorii $\overrightarrow{u}\text{ i }\overrightarrow{v}$sunt coliniari.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea ${{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right)\text{ i }{{I}_{2}}\text{=}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right).$

(5p) a) Calculaţi $\det A$, ${{A}^{2}}\text{ i }{{A}^{3}}$;

(5p) b) Verificaţi egalitatea ${{A}^{2}}=4A-5{{I}_{2}}$ si demonstraţi că${{A}^{n+1}}=4{{A}^{n}}-5{{A}^{n-1}},\text{ }\left( \forall  \right)n\in \mathbb{N},n\ge 2$ ;

(5p) c) Arătaţi că ${{A}^{n}}\ne {{I}_{2}},\text{ }\left( \forall  \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

2. Se consideră polinoamele $f={{X}^{8}}+{{X}^{4}}+1\text{ i }g={{X}^{2}}+X+1$, iar ${{x}_{1}}\text{ i }{{x}_{2}}\in \mathbb{C}$rădăcinile polinomului g.

(5p) a) Aflaţi restul împărţirii lui f  la $g\grave{\ }={{X}^{2}}\cdot g\text{ };$

(5p) b) Calculaţi ${{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}\text{ i }{{x}_{1}}^{\text{3}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{3}};$

(5p) c) Arătaţi că $f\left( {{x}_{1}}^{2} \right)+f\left( {{x}_{2}}^{2} \right)\in \mathbb{N}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:\left[ -3,\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1}$.

(5p) a) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\text{ i }\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$;

(5p) b) Demonstraţi relaţia ${{f}^{2}}\left( x \right)=-2{{f}^{'}}\left( x \right)\cdot \sqrt{3+x}\left( \forall  \right)x\in \left( -3,\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$si stabiliţi monotonia funcţiei f

(5p) c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f  în punctul de abscisă ${{x}_{0}}=-2$.

2. Se consideră funcţiile  $f,F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\cos x-\sin x\cdot {{e}^{\cos x}}-1\text{ i }$$F\left( x \right)={{e}^{\cos x}}+\sin x-x+1$.

(5p) a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f ;

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}$;

(5p) c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginite de graficul funcţiei  $g:\left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]\to \mathbb{R},$ $\text{ g}\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)-\cos x+1}{\left( {{\sin }^{2}}x-1 \right){{e}^{\cos x}}}$, axa Ox si dreptele de ecuaţii $x=0\text{ i }x=\frac{\pi }{4}$.

CLICK PENTRU BAREM