Varianta 3

Prof: Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Ordonaţi crescător numerele: \({{\log }_{\frac{1}{2}}}8,\sqrt[3]{-\frac{27}{64}},{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}\).

(5p) 2. Determinaţi inversa funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), f(x)= - 2x+3

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia \({{\log }_{x-1}}(x+2)=2\)

(5p) 4. Calculaţi \(A_{5}^{3}+C_{4}^{2}-{{P}_{4}}\).

(5p) 5. Scrieţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB ştiind că, A(1,2) şi B(-1,0).

(5p) 6. Fie x, 90⁰<x<180⁰, astfel încât sinx= \(\frac{1}{3}\). Calculaţi tgx.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele A= \(\left( \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)\) şi B=\(\left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Calculaţi det(A+B)

(5p) b) Stabiliţi dacă matricea A este inversabilă şi, în caz afirmativ, aflaţi inversa sa.

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia AX=B

2. Fie polinomul f= X³-aX²+bX+2, a,b numere reale

(5p) a) Determinaţi a şi b ştiind că 2 este rădăcină a polinomului f şi, restul împărţirii polinomului f la X-1 este egal cu 2.

(5p) b) Calculaţi \(\frac{1}{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}\cdot {{x}_{3}}}+\frac{1}{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{3}}}\)

(5p) c) Pentru a şi b determinaţi la punctul (a) demonstraţi că polinomul f  are toate rădăcinile reale.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:(0,\infty )\to \mathbb{R},f(x)=\frac{1}{x}\ln x\)

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to 0}{\mathop \lim }\,f(x)\) şi \(\underset{x\to \infty }{\mathop \lim }\,f(x)\)

(5p) b) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f, în punctul de abscisă 1

(5p) c) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f.

2. Fie \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+64}\)

(5p) a) Calculaţi \(\int{f(x)dx}\)

(5p) b) Calculaţi \(\int{xf(x)dx}\)

(5p) c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia graficului funcţiei  \(g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R}\), g(x)=f(x) în jurul axei Ox.