Prof: Andrei Lenuţa.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Determinaţi numărul real x, astfel încât numerele x-3, 8, x+3 să fie termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 2.Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=x-2012\). Să se calculeze numărul p=\(f\left( 0 \right)\cdot f\left( 1 \right)\cdot ...\cdot f\left( 2012 \right)\).

(5p) 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{9}^{x}}={{27}^{x-1}}\).

(5p) 4. Să se calculeze probabilitatea ca un element \(x\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\)să verifice inegalitatea \({{3}^{x}}\le 60\).

(5p) 5. Să se calculeze aria triunghiului ABC cu vârfurile\(A\left( 0,-2 \right)\),\(B\left( 1,1 \right)\) şi \(C\left( -2,0 \right)\).

(5p) 6. Calculaţi \({{\sin }^{2}}{{70}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{20}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră determinantul  \(d=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}} \\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ \end{matrix} \right|\), unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) sunt soluţiile ecuaţiei \({{x}^{3}}-4x+3=0\).

(5p) a) Să se calculeze \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}\)

(5p) b) Să se demonstreze că  \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-9\).

(5p) c) Să se calculeze valoarea determinantului d.

2. Se consideră mulţimea \(M=\left\{ {{A}_{x}}=\left( \begin{matrix} {{2012}^{x}} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left| x\in \mathbb{R} \right. \right\}\) şi funcţia \(f:\mathbb{R}\to M,f\left( x \right)={{A}_{x}}\).

(5p) a) Să se arate că \({{A}_{x}}\cdot {{A}_{y}}={{A}_{x+y}},\forall {{A}_{x}},{{A}_{y}}\in M\)

(5p) b) Să se demonstreze că mulţimea M împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor formează grup abelian.

(5p) c) Să se demonstreze că \(f\left( x+y \right)=f\left( x \right)\cdot f\left( y \right)\), \(\forall x,y\in \mathbb{R}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R}\) dată prin \(f\left( x \right)=x+1+\frac{1}{x+1}\) .

(5p) a) Să se calculeze \({{f}^{'}}\left( x \right),x\in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}\).

(5p) b) Să se studieze monotonia funcţiei \(f\).

(5p) c) Să se determine ecuaţia asimptotei verticale.

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+5}\).

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{2}{\frac{x}{f\left( x \right)}dx}\).

(5p) b) Să se determine volumul corpului de rotaţie obţinut prin rotirea graficului funcţiei \(f\) în jurul axei Ox şi dreptele de ecuaţii \(x=2\)şi \(x=4\).

(5p) c) Demonstraţi că \(\int\limits_{-2}^{2}{xf\left( x \right)dx}=0\)