Varianta 8

Prof: Andrei Lenuţa

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze \(C_{5}^{3}-10\) .

(5p) 2. Să se determine soluţia reală a ecuaţiei \({{\log }_{6}}\left( 5x+6 \right)=2\) .

(5p) 3. Determinaţi numerele reale \(m\) pentru care ecuaţia \({{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0\) are rădăcini reale egale.

(5p) 4. După o reducere cu 5% un produs costă 190 lei. Să se determine preţul produsului înainte de reducere.

(5p) 5.În sistemul de coordonate\(xOy\)se consideră punctele\(A\left( 5,4 \right)\)şi\(B\left( 0,2 \right)\).Scrieţi ecuaţia dreptei AB.

(5p) 6. Calculaţi aria triunghiului DEF, ştiind că DE=12, DF=6 şi \(m\left( \measuredangle EDF \right)={{60}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \\ \end{matrix} \right)\) , \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)şi mulţimea \(G=\left\{ X\left( a \right)\left| X\left( a \right)=aA+{{I}_{2}},a\in \mathbb{R} \right. \right\}\)

(5p) a) Să se arate că \({{A}^{2}}=4A\).

(5p) b) Să se demonstreze că \(X\left( a \right)\cdot X\left( b \right)=X\left( a+b+4ab \right)\), oricare ar fi \(a,b\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Arătaţi că  este matrice \(X\left( a \right)\) inversabilă oricare ar fi \(a\in \mathbb{Z}\).

2.Polinomul \(f={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-10x+m\), cu \(m\in \mathbb{R}\) are rădăcinile \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\).

(5p) a) Arătaţi că  \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\) este constantă oricare ar fi \(m\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Determinaţi  \(m\in \mathbb{R}\) astfel încât \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=-9\).

(5p) c) Arătaţi că determinantul \(d=\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}} \\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ \end{matrix} \right|\) este număr natural, oricare ar fi \(m\in \mathbb{R}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{f}^{'}}\left( x \right),x\in \mathbb{R}\)

(5p) b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre \(+\infty \) la graficul funcţiei

(5p) c) Să se arate că f este convexă oricare ar fi \(x\in \mathbb{R}\).

2. Pentru orice \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) se consideră funcţiile \({{f}_{n}}:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},{{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{n}}+9}\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int{{{\left( x+9 \right)}^{2}}{{f}_{1}}\left( x \right)dx}\), unde \(x\in \left[ 0,1 \right]\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{x{{f}_{2}}\left( x \right)dx}\).

(5p) c) Să se demonstreze că aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei \(f\), axa \(Ox\)şi dreptele \(x=0,x=1\)este un număr din intervalul  \(\left[ \frac{1}{10},\frac{1}{9} \right]\).