Varianta 9

Prof: Andrei Lenuţa

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Comparaţi numerele \(a={{\log }_{3}}27\) şi \(b=\sqrt[3]{64}\).

(5p) 2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi inecuaţia \(2{{x}^{2}}-3x+1\le 0\).

(5p) 3. Preţul unui produs este de 150 lei, el se scumpeşte cu 10%. Calculaţi preţul produsului după scumpire.

(5p) 4. Să se determine numărul numerelor naturale de trei cifre dictincte ce se pot forma cu elemente din mulţimea \(\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\).

(5p) 5. Determinaţi numarul real \(m\), pentru care punctul\(A\left( {{m}^{2}},4m+1 \right)\)se află pe dreapta d: x+y+3=0.  

(5p) 6.Să se calculeze\(\cos x\), ştiind că \(\sin x=\frac{1}{5}\), unde\(x\)este măsura unui unghi ascuţit.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea \({{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\)se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei A.

(5p) b) Verificţi dacă \({{A}^{-1}}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\), unde \({{A}^{-1}}\)este inversa matricei A.

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia \(AX=\left( \begin{matrix} 2 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 4 \\ 6 & 6 & 6 \\ \end{matrix} \right),X\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\)

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie \(x*y=xy-x\sqrt{2012}-y\sqrt{2012}+2012+\sqrt{2012}\).

(5p) a) Calculaţi \(\sqrt{2012}*\sqrt{2012}\).

(5p) b) Demonstraţi că \(x*y=\left( x-\sqrt{2012} \right)\left( y-\sqrt{2012} \right)+\sqrt{2012}\), oricare ar fi \(x,y\in \mathbb{R}\)

(5p) c) Determinaţi numărul real a pentru care \(x*a=a\), oricare ar fi \(x\in \mathbb{R}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 2x-1,x<1 \\ \frac{2}{{{x}^{2}}+1},x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) a) Demonstraţi că funcţia \(f\) este continuă în punctul \({{x}_{0}}=1\).

(5p) b) Calculaţi \(\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{4{{x}^{2}}-1}\).

(5p) c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei \(f\)în punctul A(2, \(\frac{2}{5}\)).

2.Se consideră funcţiile \({{f}_{m}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\({{f}_{m}}\left( x \right)=({{m}^{2}}-4){{x}^{2}}+4mx+2012\) , unde \(m\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinaţi mulţimea primitivelor funcţiei \({{f}_{1}}\).

(5p) b) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei \({{f}_{2}}\), axa Ox şi dreptele de ecuaţii \(x=0\)şi \(x=1\)

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{{{f}_{2}}\left( x \right)-2012}{x}}\cdot \ln xdx\).