Varianta 10

Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătaţi că numărul \(N=\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{{{\left( 1-\sqrt{2} \right)}^{2}}}+1-\sqrt{3}\) este natural

(5p) 2. Fie \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+mx+3,m\in \mathbb{R}.\)Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât \({{G}_{f}}\bigcap Ox\ne \Phi .\)

 (5p) 3. Aflaţi valorile reale ale lui x astfel încât numerele \({{3}^{x+1}}{{,9}^{x}},5\cdot {{3}^{x}}-6\)sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 4. Determinaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea \(\left\{ C_{11}^{k}|k\in \mathbb{N},0\le k\le 11 \right\}\)acesta să fie divizibil cu 11.

(5p) 5. Care sunt coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC unde A(3,0), B(2,2) şi C(-1,-2)?

(5p) 6. Fie vectorii \(\overrightarrow{u}=\left( {{m}^{2}}-1 \right)\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\text{ i }\overrightarrow{v}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};m\in \mathbb{R}.\) Aflaţi valorile parametrului real m astfel încât vectorii \(\overrightarrow{u}\text{ i }\overrightarrow{v}\)sunt coliniari.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea \({{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\) se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{matrix} \right)\text{ i }{{I}_{2}}\text{=}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right).\)

(5p) a) Calculaţi \(\det A\), \({{A}^{2}}\text{ i }{{A}^{3}}\);

(5p) b) Verificaţi egalitatea \({{A}^{2}}=4A-5{{I}_{2}}\) şi demonstraţi că\({{A}^{n+1}}=4{{A}^{n}}-5{{A}^{n-1}},\text{ }\left( \forall  \right)n\in \mathbb{N},n\ge 2\) ;

(5p) c) Arătaţi că \({{A}^{n}}\ne {{I}_{2}},\text{ }\left( \forall  \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

2. Se consideră polinoamele \(f={{X}^{8}}+{{X}^{4}}+1\text{ i }g={{X}^{2}}+X+1\), iar \({{x}_{1}}\text{ i }{{x}_{2}}\in \mathbb{C}\)rădăcinile polinomului g.

(5p) a) Aflaţi restul împărţirii lui f  la \(g\grave{\ }={{X}^{2}}\cdot g\text{ };\)

(5p) b) Calculaţi \({{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}\text{ i }{{x}_{1}}^{\text{3}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{3}};\)

(5p) c) Arătaţi că \(f\left( {{x}_{1}}^{2} \right)+f\left( {{x}_{2}}^{2} \right)\in \mathbb{N}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:\left[ -3,\infty \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1}\).

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\text{ i }\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\);

(5p) b) Demonstraţi relaţia \({{f}^{2}}\left( x \right)=-2{{f}^{'}}\left( x \right)\cdot \sqrt{3+x}\left( \forall  \right)x\in \left( -3,\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)şi stabiliţi monotonia funcţiei f ;

(5p) c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f  în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=-2\).

2. Se consideră funcţiile \(f,F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\cos x-\sin x\cdot {{e}^{\cos x}}-1\) si \(F\left( x \right)={{e}^{\cos x}}+\sin x-x+1\).

(5p) a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f ;

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}\);

(5p) c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginite de graficul funcţiei  \(g:\left[ 0,\frac{\pi }{4} \right]\to \mathbb{R},\) \(\text{ g}\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)-\cos x+1}{\left( {{\sin }^{2}}x-1 \right){{e}^{\cos x}}}\), axa Ox şi dreptele de ecuaţii \(x=0\text{ i }x=\frac{\pi }{4}\).