Prof: Ciocănaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică se cunosc: a₁ = 2 şi r = 3. Calculaţi a₁₁.

(5p) 2. Calculaţi  log ₃ 3 + 3 log ₃ 2 - 2 log ₃ 4.

(5p) 3. Se consideră funcţia f: R \(\to \)R,  f(x) = x²- 5x + 6. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axa Ox.

(5p) 4. Calculaţi  2\(C_{5}^{2}\) - \(A_{5}^{2}\)+ \({{P}_{3}}\).

(5p) 5. Se consideră vectorii   \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\)= 2\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\) + 3\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\) şi  \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\) =  3\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\) - 2\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\). Determinaţi vectorul 2\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\)- 3\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\).

(5p) 6. Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 10 şi m(Â) = 30⁰. Calculaţi aria triunghiului.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaţii \(\begin{matrix} x+y+z=1 \\ ax+3y+z=-1 \\ {{a}^{2}}x+9y+z=1 \\ \end{matrix}\) .

(5p) a) Determinaţi a\(\in \)R pentru care matricea sistemului este inversabilă.

(5p) b) Transpuneţi matricea sistemului şi calculaţi determinantul acesteia pentru a = 2. 

(5p) c) Rezolvaţi sistemul pentru a = 4.

2. Se consideră polinomul f = X⁴ – 8X² + 16, cu rădăcinile x₁, x₂, x₃, x₄ reale.

(5p) a) Dacă S = x₁ + x₂ + x₃ + x₄  şi P = x₁x₂x₃ x₄ , calculaţi f(S) + P.

(5p) b) Arătaţi că polinomul f este divizibil cu g = X – 2. 

(5p) c) Calculaţi x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ + x₄⁴. 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f: R \(\to \)R, f(x) = \(\frac{2x}{{{x}^{2}}+3}\).

(5p) a) Calculaţi f ’(x), f ’(0), x\(\in \)R.

(5p) b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f.

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)-x)\).

2. Se consideră funcţia f , f: R \(\to \)R, f(x) = \(\begin{matrix} -{{x}^{2}}+3x-2 \\ (x+3)\ln x \\ \end{matrix}\) \(\begin{matrix} x<1 \\ x\ge 1 \\ \end{matrix}\)

(5p) a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe R.

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{f(x)}dx\).

(5p) c) Să se calculeze \(\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f(x)}{x+3}}dx\).