Prof: Ciocănaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică se cunosc: a₁ = 3 şi r = -2. Calculaţi S₂₅.

(5p) 2. Determinaţi numărul real m pentru care ecuaţia x2  - ( m - 1) x + 2m = 0 are soluţii reale egale.

(5p) 3. Se consideră funcţia f: R \(\to \)R,  f(x) = 3^2x+1-1 . Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axele Ox şi Oy. 

(5p) 4. Rezolvaţi ecuaţia \(C_{n}^{2}\)= \({{P}_{3}}\).

(5p) 5. Se consideră vectorii   \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\)= (a + 2)\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\) + (a – 3)\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\) şi  \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\) =  3\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\) - 2\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\), cu a\(\in \)R. Determinaţi a astfel încât vectorii \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\) şi \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\)să fie coliniari.

(5p) 6. Calculaţi sin 75⁰ folosind sin (a + b).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, a), B(a, 2) şi C(- 3, -2) unde a\(\in \)R.

(5p) a). Pentru a = 1 să se determine ecuaţia dreptei BC.

(5p) b) Pentru a = -2 să se calculeze aria triunghiului ABC.

(5p) c) Determinaţi a pozitiv astfel încât punctele A, B, C să fie coliniare.

2. Se consideră inelul (Z₅, +,\(\cdot \)) unde Z₅ = {\(\hat{0}\), \(\hat{1}\), \(\hat{2}\), \(\hat{3}\), \(\hat{4}\)}.

(5p) a) Rezolvaţi ecuaţia \(\hat{2}\)x + \(\hat{3}\) = \(\hat{1}\) în Z₅.

(5p) b) Calculaţi determinantul \begin{vmatrix} {\hat{1}} & {\hat{2}} & {\hat{3}}\\ {\hat{2}} & {\hat{3}} & {\hat{1}}\\ {\hat{3}} & {\hat{1}} & {\hat{2}} \end{vmatrix} în Z₅.

(5p) c) Rezolvaţi în Z₅ sistemul \(\left\{\begin{matrix} \hat{2}x+y=\hat{1} \\ x+\hat{4}y=\hat{3} \end{matrix}\right.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile f: (0, \(+\infty \))\(\to \)R, f(x) = ln x + \(\frac{{{x}^{2}}}{2}\) şi g: R \(\to \)R, g(x) =  x² – 3x.

(5p) a) Calculaţi (f(x) \(\cdot \)g(x))’ pentru x\(\in \)(0, \(+\infty \)).

(5p) b) Determinaţi intervalele de concavitate şi convexitate pentru funcţia f.

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}\).

2. Se consideră funcţiile f : [1, 3] \(\to \)R, f(x) = x ²+ x +\(\frac{2}{x}\) şi g: [1, 2] \(\to \)R g(x) = f(x) – x.

(5p) a) Determinaţi mulţimea primitivelor funcţiei f.

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{3}{(f(x)}-{{x}^{2}}-\frac{2}{x}){{e}^{x}}dx\).

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g.