Varianta 20

Prof: Ciocănaru Viorica

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică se cunosc: a₁ = 3 şi r = -2. Calculaţi S₂₅.

(5p) 2. Determinaţi numărul real m pentru care ecuaţia x2  - ( m - 1) x + 2m = 0 are soluţii reale egale.

(5p) 3. Se consideră funcţia f: R $\to$R,  f(x) = 3^2x+1-1 . Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axele Ox şi Oy. 

(5p) 4. Rezolvaţi ecuaţia $C_{n}^{2}$= ${{P}_{3}}$.

(5p) 5. Se consideră vectorii   $\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,$= (a + 2)$\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,$ + (a – 3)$\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,$ şi  $\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,$ =  3$\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,$ - 2$\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,$, cu a$\in$R. Determinaţi a astfel încât vectorii $\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,$ şi $\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,$să fie coliniari.

(5p) 6. Calculaţi sin 75⁰ folosind sin (a + b).

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, a), B(a, 2) şi C(- 3, -2) unde a$\in$R.

(5p) a). Pentru a = 1 să se determine ecuaţia dreptei BC.

(5p) b) Pentru a = -2 să se calculeze aria triunghiului ABC.

(5p) c) Determinaţi a pozitiv astfel încât punctele A, B, C să fie coliniare.

2. Se consideră inelul (Z₅, +,$\cdot$) unde Z₅ = {$\hat{0}$, $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$}.

(5p) a) Rezolvaţi ecuaţia $\hat{2}$x + $\hat{3}$ = $\hat{1}$ în Z₅.

(5p) b) Calculaţi determinantul

$$\begin{vmatrix} {\hat{1}} & {\hat{2}} & {\hat{3}}\\ {\hat{2}} & {\hat{3}} & {\hat{1}}\\ {\hat{3}} & {\hat{1}} & {\hat{2}} \end{vmatrix}$$ în Z₅.

(5p) c) Rezolvaţi în Z₅ sistemul $\left\{\begin{matrix} \hat{2}x+y=\hat{1} \\ x+\hat{4}y=\hat{3} \end{matrix}\right.$

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile f: (0, $+\infty$)$\to$R, f(x) = ln x + $\frac{{{x}^{2}}}{2}$ şi g: R $\to$R, g(x) =  x² – 3x.

(5p) a) Calculaţi (f(x) $\cdot$g(x))’ pentru x$\in$(0, $+\infty$).

(5p) b) Determinaţi intervalele de concavitate şi convexitate pentru funcţia f.

(5p) c) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}$.

2. Se consideră funcţiile f : [1, 3] $\to$R, f(x) = x ²+ x +$\frac{2}{x}$ şi g: [1, 2] $\to$R g(x) = f(x) – x.

(5p) a) Determinaţi mulţimea primitivelor funcţiei f.

(5p) b) Calculaţi $\int\limits_{1}^{3}{(f(x)}-{{x}^{2}}-\frac{2}{x}){{e}^{x}}dx$.

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g.

 

---