Varianta 21

Prof: Ciocănaru Viorica

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi b₁ - b₄ = 7 şi b₁ – b₂ = 4. Determinaţi b₁₂.

(5p) 2. Rezolvaţi ecuaţia \({{5}^{\frac{x+2}{x-1}}}\)= 125.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia log ₃ x +  log ₃ (2x - 1) = 2 log ₃ (x + 1).

(5p) 4. Se consideră funcţia f: R \(\to \)R,  f(x) = x²- 3x + 4. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei associate funcţiei şi intersecţia parabolei cu axa Oy.

(5p) 5. Se consideră vectorii   \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\)= (5a + 1)\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\) + (2b – 3)\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\) şi  \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\) =  3,5\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\) + 2,4\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\), cu  a, b\(\in \)R. Determinaţi a şi b astfel încât vectorii \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\) şi \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\)să fie egali.

(5p) 6. Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 10 şi m(Â) = 60⁰. Calculaţi lungimea laturii BC.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele A =\(\left( \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) B = \(\left( \begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Calculaţi det (A – B) şi Tr (A -B).

(5p) b) Verificaţi dacă A este inversabilă şi calculaţi inversa ei.

(5p) c) Calculaţi A\(\cdot \)B.

Verificaţi dacă A este inversabilă şi calculaţi inversa ei.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea \(x*y=xy-3x-3y+12\).

(5p) a) Verificaţi dacă legea de compoziţie “\(*\)” este asociativă.

(5p) b) Rezolvaţi ecuaţia  x \(*\) 5 = 1.

(5p) c) Rezolvaţi inecuaţia  2\(*\) \(C_{n}^{2}\)  > 1 unde n \(\in \)N, n\(\ge \) 2.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f: R \(\to \)R, f(x) = \(\begin{matrix} \frac{x-3}{x-4}, \\ \frac{x+3}{x+4}, \\ \end{matrix}\) \(\begin{matrix} x\le 0 \\ x>0 \\ \end{matrix}\)

(5p) a) Verificaţi dacă funcţia f este continuă în punctul x₀ = 0.

(5p) b) Calculaţi f ’(2).

(5p) c) Cercetaţi existenţa asimptotelor orizontale sau oblice ale funcţiei f

2. Se consideră funcţiile f: R \(\to \)R, f_n(x) = \(\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{2}}+1}\), unde n este număr natural.

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{2}{{{f}_{0}}(x)}dx\).

(5p) b) Dacă I_n = \(\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{n}}(x)}dx\), calculaţi I₂₀₁₀ + I₂₀₁₂.

(5p) c)  Calculaţi aria suprafeţei plane mărginite de graficul funcţiei f₂, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x =1.