Varianta 22

Prof: Dobre Andrei Octavian

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Soluţia ecuaţiei (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155

(5p) 2.Să se determine mulțimea tuturor parametrilor reali m pentru care \((m-1){{x}^{2}}+mx+m+1>0\,\)oricare ar fi \(x\in \mathbb{R}\)

(5p) 3. Să se rezolve în multimea numerelor reale ecuația \(\ln ({{e}^{x}}-1)+\ln ({{e}^{x}}+1)=1\)

 (5p) 5. Fie punctele A(0,2), B(4,6), C(8,10) . Daca punctul A’ este simetricul lui A faţă de BC, aflaţi lungimea segmentului AA’.

(5p) 6. În triunghiul ABC avem BC=4, AC=2 si AB = 6. Dacă M este mijlocul segmentului [BC] aflaţi \(m(\sphericalangle BAM)\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie \(A=\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ -10 & -4 \\ \end{matrix} \right)\), \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)și \(M=\{X(a)/a\in \mathbb{R},X(a)={{I}_{2}}-a\cdot A\}\)

(5p) 1. Calculați \({{A}^{2}}-A\).

(5p) 2. Să se arate că \(X(a)\cdot X(b)=X(a+b-ab).\)

(5p) 3. Să se calculeze \(X(0)\cdot X(1)\cdot X(2)\cdot ...\cdot X(2012)\)

2. Definim pe \(\mathbb{R}\)legea de compozitie “ * ” prin \(x*y={{\log }_{2012}}({{2012}^{x}}+{{2012}^{y}})\,\,(x,y\in \mathbb{R})\)

(5p) a) Arătați ca legea “*” este asociativa, dar nu admite element neutru.

(5p) b) Demonstrați că \(2012+(y*z)=(2012+y)*(2012+z)\), oricare ar fi \(y,z\in \mathbb{R}\)

(5p)c ) Rezolvați în \(\mathbb{R}\)ecuația \(x*x*x=x{{\log }_{2012}}6036\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:(-\infty ,-1]\cup [0,+\infty )\to \mathbb{R},\,f(x)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+x}\).

(5p) a) Calculați \(f'(x)\)

(5p) b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcției f

(5p) b) Să se determine ecuațiile asimptotelor către \(-\infty \)și \(+\infty \)la graficul funcției f

2. Pentru fiecare\(\,n\in \mathbb{N}\)se consideră \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}+1)}^{n}}}}dx\,\).

(5p) a) Să se arate că \({{I}_{0}}+{{I}_{1}}=\frac{\pi +4}{4}\)

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{2}}=\frac{\pi +2}{8}\)

(5p) c) Să se demonstreze că \({{I}_{n}}<{{I}_{2}}\), oricare ar fi \(n\in \mathbb{N},\,n\ge 3\)