Varianta 23

Prof:  Dogaru Ion

 SUBIECTUL  I  ( 30 de puncte)

5p  1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale  inecuaţia \(7{{x}^{2}}-15x+2\le 0\)

5p  2. Sǎ se determine numǎrul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii A = { 1,2,3,…,10}, care conţine elementul 5.

5p  3. Sǎ se determine probabilitatea ca alegând un numǎr \(\overline{ab}\) din mulţimea numerelor naturale de  douǎ cifre, sǎ avem \(a\ne b\).

5p  4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia  \(\lg (x-1)+\lg (6x-5)=2\).

5p  5. Sǎ se determine \(m\in \mathbb{R}\) astfel încât  distanţa dintre punctele A(m,-7) şi B(-5,m) sǎ fie  10.

5p  6. Sǎ se calculeze modulul vectorului \(\vec{u}+\vec{v}\) ştiind cǎ \(\vec{u}=11\vec{i}-7\vec{j},\) \(\vec{v}=-5\vec{i}+4\vec{j}\).

SUBIECTUL al II-lea ( 30 de puncte)

1. Pentru \(x\in \)R, se considerǎ matricele: \(A=\left( \begin{matrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \\ \end{matrix} \right)\) şi \(B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\).

5p  a) Sǎ se determine \(x\in \)R  pentru care rang A = 2.

5p  b) Pentru  x = - 2  determinaţi detA^*, undeA* este  adjuncta  matricei A.

5p  c) Pentru x = - 1 sǎ se rezolve ecuaţia YA = B, unde Y \(\in {{\Mu }_{1,3}}(\mathbb{R})\).

2. Se considerǎ polinomul f = X³ – 9X² – X + 9 care are toate rǎdǎcinile x₁, x₂, x₃, reale.

5p  a) Sǎ se determine câtul şi restul împǎrţirii polinomului f  la  X² - 1.

5p  b) Arǎtaţi cǎ \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=9(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-18\).

5p  c) Rezolvaţi ecuaţia \(f({{3}^{x}})=0\).

SUBIECTUL al III-lea ( 30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia f : R → R , \(f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4},\forall x\in \)R .

5p  a)  Sǎ se determine asimptotele graficului funcţiei  f .

5p  b)  Sǎ se arate cǎ \({{f}^{2}}(x){f}'(x)={{x}^{2}}+2x,\forall x\in \)R\{-2,1}

5p  c)  Sǎ se determine derivatele laterale ale graficului funcţiei f  în punctul  x₀ = - 2

2. Se considerǎ funcţia f : R → R, f(x) = x³ – 3x + 2.

5p  a)  Sǎ se determine valorile de extrem local ale funcţiei f ;

5p  b) Sǎ se calculeze \(\int_{2}^{3}{\frac{f(x)}{x-1}}dx\);

5p  c)  Sǎ se calculeze \(\int_{-1}^{0}{\frac{{{x}^{2}}-13}{f(x)}dx}\).