Prof:  Dogaru Ion

 SUBIECTUL  I  ( 30 de puncte)

5p  1. Calculaţi \({{\left( 1+i \right)}^{2012}}-{{(1-i)}^{2012}}\).

5p  2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{9}^{x}}-10\cdot {{3}^{x-1}}+1=0\).

5p  3. Fie \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\)o progresie aritmeticǎ. Știind cǎ  a₆ + a₁₆ = 2012, calculaţi  a₃ + a₁₉ .

5p  4. Sǎ se determine valorile naturale ale numǎrului n astfel încât \(C_{n+1}^{1}+C_{n+1}^{2}=36\).

5p  5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se considerǎ punctele A(3,-2), B(-5,4). Sǎ se determine ecuaţia mediatoarei segmentului [AB].

5p  6. În mulţimea [0,2π] rezolvaţi ecuaţia \({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=\cos x\).

SUBIECTUL  II ( 30 de puncte)

1. Pentru fiecare \(t\in (0,+\infty )\) se considerǎ matricea H(t) = \(\left( \begin{matrix} 1 & \ln t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t \\ \end{matrix} \right)\).

5p  a) Sǎ se calculeze,în raport cu t > 0, rangul matricei adjuncte  H^*(t); 

5p  b) Arǎtaţi cǎ H(x)\(\cdot \)H(y) = H(xy); \(\forall x,y\in (0,+\infty )\) ;

5p  c) Calculaţi determinantul matricei H(1)+H(2)+H(3)+….+H(10).

2. Se considerǎ operaţia \(x*y=xy-2(x+y)+6,\forall x,y\in \mathbb{R}\)şi mulţimea G = ( 2, \(+\infty )\).

5p  a) Arǎtaţi cǎ  G este parte stabilǎ faţǎ de legea de compoziţie \(*\).

5p  b) Sǎ se determine elementele simetrizabile ale mulţimii G în raport cu legea de compoziţie \(*\);

5p  c) Știind cǎ legea de compoziţie \(*\) este asociativǎ, sǎ se calculeze \(\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\cdot \cdot \cdot *\frac{8}{9}\)

SUBIECTUL  III ( 30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia f : R→R, f(x) = x²⁰¹² + 2012(x – 1) – 1.

5p  a) Sǎ se calculeze \(f(1)+{f}'(0)\);

5p  b) Sǎ se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f, în punctul de abscisǎ x₀ = 1;

5p  c) Arǎtaţi cǎ funcţia f este convexǎ pe R.

2. Se considerǎ funcţia f : R→R, f(x) = (x + 1)³ – 3x² – 1 .

5p  a) Sǎ se calculeze \(\int_{0}^{1}{f(x)dx;}\)

5p  b) Sǎ se calculeze \(\int_{-1}^{1}{{{f}^{5}}(x)dx}\);

5p  c) Sǎ se calculeze \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int_{0}^{x}{f(t-1)dt}}{{{x}^{4}}}\);