Prof: Gaga Loghin.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflați partea imaginară a numărului \(z={{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{3}}\)

(5p) 2. Se consideră ecuația \({{x}^{2}}-\left( m-2 \right)x+m-3=0\). Să se determine \(m\in \mathbb{R}\), astfel ca \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16\).

(5p) 3. Calculați \(C_{2012}^{7}-C_{2012}^{2005}\)

(5p) 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din  mulţimea A = {1,2,3,...,2013}, acesta să fie multiplu de 3.

(5p) 5. Se consideră punctele \(A\left( -3,m \right)\) şi \(B\left( m,-3 \right)\). Să se determine \(m\in \mathbb{R}\) astfel încât \(\left[ AB \right]=6\sqrt{2}\).

(5p) 6. În triunghiul ABC, avem AB=3, AC=4, BC=5. Determinați lungimea medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} x+5 & 4 \\ 4 & x+5 \\ \end{matrix} \right),\,x\in \mathbb{R}\)

(5p) a)Să se determine \(x\in \mathbb{R}\) dacă  \(\det A=0\)

(5p) b) Să se calculeze \({{A}^{2}}-\left( 2x+10 \right)A+\left( {{x}^{2}}+10x+9 \right){{I}_{2}}\)

(5p) c)  Pentru \(x=-1\), să se calculeze \({{A}^{n}}\),\(n\in {{N }^{*}}\).

2. Fie, în inelul \({{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ X \right]\), polinoamele \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+X+\hat{2}\) și \(g\left( X \right)=X+\hat{4}\)

(5p) a) Să se determine \(a\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\) astfel încât f să fie divizibil cu g.

(5p) b) Pentru \(a=\hat{1}\), să se descompună în factori primi polinomul

(5p) c) Pentru \(a=\hat{1}\), să se calculeze suma \(f\left( {\hat{0}} \right)+f\left( {\hat{1}} \right)+\cdots +f\left( {\hat{4}} \right)\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left( 0,\,\infty \right)\to \mathbb{R},\,\,f\left( x \right)=\frac{1-{{\ln }^{2}}x}{1+{{\ln }^{2}}x}\)

(5p) a) Să se calculeze \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\)

(5p) b) Să se determine derivata I a funcției f

(5p) c) Determinați asimptotele funcției f(x)

2. Considerăm integralele \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}+1}{{{x}^{2}}+1}dx},\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\)

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{1}}\le {{I}_{3}}\)

(5p) c) Să se calculeze \({{I}_{n}}+{{I}_{n+1}}\)