Prof: Ionescu Maria.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze: \({{\log }_{2}}6+{{\log }_{2}}10-{{\log }_{2}}15\).

(5p) 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia: \(9{{x}^{2}}-16\le 0\).

(5p) 3. Să se determine al şaptelea termen al unei progresii aritmetice ştiind că primul termen este 7, iar suma primilor doi termeni este 17.

(5p) 4. Să se determine câte numere de 3 cifre distincte se pot forma folosind cifre din mulţimea {3,4,5,6}.

(5p) 5. În reperul cartezian XOY se consideră punctele A(2,3), B(-1,2) şi C(3,-4). Calculaţi lungimea medianei din A, a triunghiului ABC.

(5p) 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC în care AB=6, AC=8 şi \(m\left( \sphericalangle BAC \right)={{120}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaţii: \(\left\{ \begin{align} & x-y+z=2 \\ & 2x+y-z=1 \\ & mx-3y+2z=3 \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Să se determine \(m\in R\) astfel încât (1,2,3) să fie o soluţie a sistemului de ecuaţii de mai sus.

(5p) b) Rezolvaţi ecuaţia: \(\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ m & -3 & 2 \\ \end{matrix} \right|={{m}^{2}}-5m+1\), \(m\in R\).

(5p) c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii pentru \(m\in R\).

2. Fie polinoamele \(f=\overset{\hat{\ }}{\mathop{2}}\,{{X}^{5}}+\overset{\hat{\ }}{\mathop{4}}\,{{X}^{4}}+\overset{\hat{\ }}{\mathop{3}}\,X+\overset{\hat{\ }}{\mathop{1}}\,,\quad g=\overset{\hat{\ }}{\mathop{2}}\,{{X}^{3}}+\overset{\hat{\ }}{\mathop{3}}\,{{X}^{2}}+\overset{\hat{\ }}{\mathop{2}}\,X+\overset{\hat{\ }}{\mathop{3}}\,,\) \(\quad f,g\in {{Z}_{5}}\left[ X \right]\).

(5p) a) Calculaţi \(f\left( \overset{\hat{\ }}{\mathop{1}}\, \right)+g\left( \overset{\hat{\ }}{\mathop{0}}\, \right)\).

(5p) b) Să se rezolve în \({{Z}_{5}}\) ecuaţia \(f\left( x \right)=\overset{\hat{\ }}{\mathop{0}}\,\)

(5p) c) Să se determine câtul  şi restul împărţirii polinomului f  la polinomul g.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R,\quad f\left( x \right)={{x}^{2012}}+{{2012}^{x}}+2012x+2012\).

(5p) a) Calculaţi \({{f}^{'}}\left( x \right),\quad x\in R\).

(5p) b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei  f  în punctul cu abscisa nulă.

(5p) c) Să se demonstreze că  f  este convexă pe R.

2. Fie funcţia \(f:\left( 0,\infty \right)\to R,\quad f\left( x \right)=\frac{1}{x+2012}+x+2012\).

(5p) a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f .

(5p) b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei OX, a graficului funcţiei \(g:\left[ 1,2 \right]\to R,\quad g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{x+2012}\).

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}} \right)dx}\).