Varianta 29

Prof: : Ionescu Maria

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine elementele mulţimii -3<=2x-5<=3.

(5p) 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia: \(\sqrt{x-5}+\sqrt{2-x}=\sqrt{7}\).

(5p) 3. Se consideră funcţia \(f:R\to R,\quad f\left( x \right)={{x}^{2}}-7x+12\). Să se calculeze \(f\left( 1 \right)\centerdot f\left( 2 \right)\centerdot ...\centerdot f\left( 10 \right)\).

(5p) 4. Să se rezolve ecuaţia \({{25}^{x}}-6\cdot {{5}^{x}}+5=0\).

(5p) 5. Să se determine cosinusul unghiului A, al triunghiului ABC, ştiind că AB=5, AC=7 şi BC=8.

(5p) 6. Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin punctele M(2,3) şi N(-3,-2).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \\ \end{matrix} \right)\) şi \({{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze \({{A}^{2}}\).

(5p) b) Calculaţi \(\det \left( {{I}_{3}}+A \right)\).

(5p) c) Să se determine inversa matricei A.

2. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie \(x\circ y=\left( x-5 \right)\left( y-5 \right)+5\).

(5p) a) Să se demonstreze că \(x\circ 5=5\circ x=5,\quad \forall x\in Z\)

(5p) b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie “\(\circ \)”.

(5p) c) Ştiind că legea de compoziţie “\(\circ \)” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: \(x\circ x\circ x\circ x\circ x=x\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R,\quad f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-2012x+2011 \right){{e}^{x}}\).

(5p) a) Calculaţi \({{f}^{'}}\left( x \right),\quad x\in R\).

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}\).

(5p) c) Să se arate că \(-2009{{e}^{2}}\le f\left( 1 \right)\le 2011\)

2. Pentru orice număr natural nenul n se consideră \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{x+2}}dx\).

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{2}}\).

(5p) b) Să se demonstreze că \({{I}_{n+1}}+2{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1}\) pentru orice \(n\in {{N}^{*}}\).

(5p) c) Utilizând, eventual, inegalitatea \(\frac{1}{3}\le \frac{1}{x+2}\le \frac{1}{2},\quad \forall x\in \left[ 0,1 \right],\quad n\in {{N}^{*}}\) să se demonstreze că \(\frac{1}{3}\le 2012\cdot {{I}_{2011}}\le \frac{1}{2}\).