Prof: Ionescu Maria.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei \(f:R\to R,\quad f\left( x \right)={{x}^{2}}-8x+12\).

(5p) 2. Să se determine \(m\in R\) astfel încât soluţiile ecuaţiei \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m=0\) să verifice relaţia \(3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)={{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}-2\).

(5p) 3. Să se calculeze suma obţinută după un an de zile , dacă s-au depus 700 de lei la o bancă cu o rată a dobânzii de 5,5% pe an.

(5p) 4. Să se calculeze \(C_{2012}^{2010}-C_{2012}^{2}\)

(5p) 5. Să se determine \(m\in R\)astfel încât dreptele \({{d}_{1}}:2mx+3y-7=0\)şi \({{d}_{2}}:3x-8y+2=0\) să fie perpendiculare.

 (5p) 6. Să se calculeze \(\cos \frac{5\pi }{6}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În reperul cartezian XOY se consideră punctele O(0,0) şi \({{A}_{n}}\left( n+5,2n-3 \right),\quad n\in {{N}^{*}}\).

(5p) a) Să se determine ecuaţia dreptei \({{A}_{1}}{{A}_{3}}\).

(5p) b) Să se calculeze aria triunghiului\(O{{A}_{1}}{{A}_{2}}\) .

(5p) c) Să se arate că punctele \({{A}_{n}}\left( n+5,2n-3 \right),\quad n\in {{N}^{*}}\) sunt coliniare.

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{3}}-3{{X}^{2}}-13X+15\) care are rădăcinile \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in R\).

(5p) a) Calculaţi \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\).

(5p) b) Arătaţi că rădăcinile polinomului  f sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{25}^{x}}-3\cdot {{5}^{x}}-13+15\cdot {{5}^{-x}}=0\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R,\quad f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+4}\).

(5p) a) Calculaţi \({{f}^{'}}\left( x \right),\quad x\in R\).

(5p) b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale catre \(+\infty \) la graficul funcţiei f  .

(5p) c) Să se determine \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{'}}\left( x \right)-{{f}^{'}}\left( 0 \right)}{x}\).

2. Se consideră funcţia \(f:R\to R,\quad f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+x+1,\quad x\le 0 \\ {{e}^{x}}+x\quad \,\,\,,\quad x>0 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Să se arate că funcţia f  admite primitive pe R.

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)}dx\)

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{e}{f\left( \ln x \right)}dx\)