Varianta 35

Prof: LEFTERIU IOANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Verificaţi daca numărul\({{(2+\sqrt{3})}^{2}}+{{\left( 1-2\sqrt{3} \right)}^{2}}\)este natural.

(5p) 2. Calculaţi b-a, ştiind că numerele: 2,a,8,b sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia:\({{2}^{x+3}}={{\left( \tfrac{1}{2} \right)}^{-2x+1}},\forall x\in \mathbb{Z}\).

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca numărul \(\log _{3}^{n}\in \mathbb{N},n\in \left\{ 1,3,5,7,9 \right\}.\)

(5p) 5. Fie punctele \(A\left( -1,1 \right),B\left( 3,-2 \right),C\left( 5,4 \right)\).Să se determine ecuaţia dreptei AM,unde M este mijlocul segmentului BC.

(5p) 6. Ştiind că \(x=\sin {{70}^{0}}-\cos {{70}^{0}},\)să se calculeze  \(\sin {{110}^{0}}+\cos {{110}^{0}}-x\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se considera matricele: \(A=\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right),B=\left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right),{{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right).\) Definim matricele:\(C=A\cdot {{B}^{t}}\)şi \(D(x)=xC+{{I}_{3}},x\in \mathbb{R}\),unde \({{B}^{t}}\)este transpusa matricei B.

(5p) a)  Să se arate că \(C=\left( \begin{matrix} 2 & -4 & 6 \\ 3 & -6 & 9 \\ 4 & -8 & 12 \\ \end{matrix} \right).\)

(5p) b) Să se calculeze determinantul matricei C.

(5p) c) Să se arate că matricea \(D\left( x \right)\) este inversabilă,\(\forall x\in \mathbb{R}-\left\{ -\frac{1}{8} \right\}.\)

2. Pe mulţimea numerelor întregi,se defineşte legea de compoziţie:\(x*y=xy-7\left( x+y \right)+56.\)

(5p) a) Să se demonstreze că:\(x*y=\left( x-7 \right)\left( y-7 \right)+7,\forall x,y\in \mathbb{Z}\)

(5p) b) Ştiind că “\(*\)” este asociativă,să se rezolve în \(\mathbb{Z}\) ecuaţia:\(x*x*x=x\).

(5p) c) Să se determine \(a\in \mathbb{Z}\),care are proprietatea:\(x*a=a*x=a,\forall x\in \mathbb{Z}\)şi apoi să se calculeze

\(E=\left( -10 \right)*\left( -9 \right)*\ldots *9*10.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{2x+a}{{{x}^{2}}+4}\),\(a\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinaţi ecuaţia asimptotei la\(+\infty \) a graficului funcţiei f.

(5p) b) Pentru a = 1,calculaţi \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}\).

(5p) c) Pentru a = 3,determinaţi coordonatele punctelor de extrem ale funcţiei f.

2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-3x+5,x0 \\ {{e}^{x}}+x+4,x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\) \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-3x+5,x<0 \\ {{e}^{x}}+x+4,x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Să se arate că funcţia \(f\) admite primitive pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\begin{align} & \int\limits_{-1}^{1}{f(x)}dx. \\ & \\ \end{align}\)

(5p) c) Să se demonsteze că \(\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx=e+\frac{7}{2}}\).