Varianta 35

Prof: LEFTERIU IOANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Verificaţi daca numărul${{(2+\sqrt{3})}^{2}}+{{\left( 1-2\sqrt{3} \right)}^{2}}$este natural.

(5p) 2. Calculaţi b-a, ştiind că numerele: 2,a,8,b sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia:${{2}^{x+3}}={{\left( \tfrac{1}{2} \right)}^{-2x+1}},\forall x\in \mathbb{Z}$.

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca numărul $\log _{3}^{n}\in \mathbb{N},n\in \left\{ 1,3,5,7,9 \right\}.$

(5p) 5. Fie punctele $A\left( -1,1 \right),B\left( 3,-2 \right),C\left( 5,4 \right)$.Să se determine ecuaţia dreptei AM,unde M este mijlocul segmentului BC.

(5p) 6. Ştiind că $x=\sin {{70}^{0}}-\cos {{70}^{0}},$să se calculeze  $\sin {{110}^{0}}+\cos {{110}^{0}}-x$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se considera matricele: $A=\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right),B=\left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right),{{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right).$ Definim matricele:$C=A\cdot {{B}^{t}}$şi $D(x)=xC+{{I}_{3}},x\in \mathbb{R}$,unde ${{B}^{t}}$este transpusa matricei B.

(5p) a)  Să se arate că $C=\left( \begin{matrix} 2 & -4 & 6 \\ 3 & -6 & 9 \\ 4 & -8 & 12 \\ \end{matrix} \right).$

(5p) b) Să se calculeze determinantul matricei C.

(5p) c) Să se arate că matricea $D\left( x \right)$ este inversabilă,$\forall x\in \mathbb{R}-\left\{ -\frac{1}{8} \right\}.$

2. Pe mulţimea numerelor întregi,se defineşte legea de compoziţie:$x*y=xy-7\left( x+y \right)+56.$

(5p) a) Să se demonstreze că:$x*y=\left( x-7 \right)\left( y-7 \right)+7,\forall x,y\in \mathbb{Z}$

(5p) b) Ştiind că “$*$” este asociativă,să se rezolve în $\mathbb{Z}$ ecuaţia:$x*x*x=x$.

(5p) c) Să se determine $a\in \mathbb{Z}$,care are proprietatea:$x*a=a*x=a,\forall x\in \mathbb{Z}$şi apoi să se calculeze

$E=\left( -10 \right)*\left( -9 \right)*\ldots *9*10.$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{2x+a}{{{x}^{2}}+4}$,$a\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Determinaţi ecuaţia asimptotei la$+\infty$ a graficului funcţiei f.

(5p) b) Pentru a = 1,calculaţi $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}$.

(5p) c) Pentru a = 3,determinaţi coordonatele punctelor de extrem ale funcţiei f.

2. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-3x+5,x0 \\ {{e}^{x}}+x+4,x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$ $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-3x+5,x<0 \\ {{e}^{x}}+x+4,x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$.

(5p) a) Să se arate că funcţia $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

(5p) b) Să se calculeze $\begin{align} & \int\limits_{-1}^{1}{f(x)}dx. \\ & \\ \end{align}$

(5p) c) Să se demonsteze că $\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx=e+\frac{7}{2}}$.