Varianta 37

Prof:LEFTERIU IOANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se rezolve în \(\mathbb{Z}\) sistemul: \(\left\{ \begin{matrix} x+y=4 \\ x\cdot y=-32 \\ \end{matrix} \right.x,y\in \mathbb{Z}\)

(5p) 2. Fie mulţimea:\(A=\left\{ 3,8,13,18,\ldots ,98 \right\}\).Aflaţi numrul elementelor mulţimii A.

(5p) 3. Să se calculeze:\(\log _{5}^{\left( 2+\sqrt{3} \right)}+\log _{5}^{\left( 2-\sqrt{3} \right)}\)

(5p) 4. Rezolvaţi ecuţia \(A_{n}^{3}=6n\),unde \(n\in N,n\ge 3.\)

(5p) 5. Se consideră rombul ABCD,iar O este punctul de intersecţie al diagonalelor sale.Să se calculeze:\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\).

(5p) 6. Să se calculeze:S=\({{\sin }^{2}}{{60}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{120}^{\circ }}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul: \(\left( S \right)=\left\{ \begin{matrix} x+my-2z=1 \\ -x+y+2z=-5 \\ \left( m-1 \right)x-y+3z=-1 \\ \end{matrix},m\in R \right.\) Notăm cu A ,matricea sistemului(S)

(5p) a) Să se determine \(m\in R\),astfel încât det(A) = 1.

(5p) b) Să se determine \(m\in R\),pentru ca sistemul să admită soluţie unică.

(5p) c) Pentru m = 1,să se rezolve sistemul (S).

2. Se consideră polinomul:\(f={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-15x-2m\),cu \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},\)rădăcinile polinomului f.

(5p) a) Să se determine \(m\in R\),astfel încât polinomul f sa fie divizibil prin g = x-2.

(5p) b) Să se determine \(m\in R\), astfel încât \(f\left( \sqrt{3} \right)=0\).

(5p) c) Pentru m = 1,calculaţi:\(S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dă funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x+1+a,x>0 \\ x{{e}^{x}}+2x-2{{e}^{x}},x\le 0 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\),pentru care funcţia este continua în \({{x}_{0}}=0\).

(5p) b) Pentru a = -3,să se scrie ecuaţia tangentei în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=2\),situat pe graficul funcţiei f.

(5p) c) Să se determine monotonia funcţiei f pentru \(x\in \left( 0,\infty  \right)\).

2. se consideră funcţiile \({{f}_{m}}:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},{{f}_{m}}\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}+m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}-m+3 \right)x+4,\)unde \(m\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Să se calculeze \(\int{{{f}_{1}}}(x)dx\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{f}_{0}}\left( x \right)dx}\).

(5p) c) Să se determine \(m\in {{\mathbb{R}}^{*}}\),astfel încât\(\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{m}}\left( x \right)dx=\frac{35}{6}}\).