Prof: LICA ROXANA 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sa se calculeze partea fractionara a numarului \(\lg 100\sqrt{10}\).

(5p) 2. Se considera functia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=x-1\). Sa se calculeze \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+...+f\left( 2012 \right)\).

(5p) 3. Daca \({{x}_{1}}\)si \({{x}_{2}}\) sunt solutiile ecuatiei \({{x}^{2}}+7x+6=0\), atunci sa se determine \(E=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\).

(5p) 4. Sa se rezolve ecuatia \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+1 \right)=2\), \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) 5. Sa se calculeze \(\sin 15{}^\circ \).

(5p) 6. Sa se calculeze aria triunghiului isoscel ABC cu AB=AC=18 si \(m\left( {\hat{B}} \right)=30{}^\circ \).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considera matricele \({{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\), \(A=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\) si \(M\left( a,b \right)=a{{I}_{3}}+bA\), unde \(a,b\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Sa se calculeze \({{\left( M\left( 1,1 \right) \right)}^{2}}\).

(5p) b) Sa se determine inversa matricei \(M\left( 2,3 \right)\).

(5p) c) Sa se determine \(a\)si \(b\) reale astfel incat matricea \(M\left( a,b \right)\) sa fie inversabila.

2. Se considera polinomul \(f={{X}^{3}}+{{X}^{2}}+X+1\), \(f\in \mathbb{C}\left[ X \right]\).

(5p) a) Sa se calculeze \(f\left( -1 \right)\).

(5p) b) Sa se descompuna   f   in produs de factori ireductibili peste \(\mathbb{C}\left[ X \right]\).

(5p) c) Sa se calculeze \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}\), unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)sunt radacinile lui f.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2012}\).

(5p) a) Sa se determine asimptotele functiei \(f\).

(5p) b) Sa se calculeze \({f}'\left( x \right)\), \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Sa se scrie ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa 1.

2. Se considera \({{f}_{n}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \({{f}_{n}}\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{n}}\).

(5p) a) Sa se calculeze \(\int_{0}^{1}{{{f}_{2}}\left( x \right)}dx.\)

(5p) b) Sa se determine aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei \({{f}_{2012}}\), axa Ox si dreptele \(x=0,\) \(x=1\).

(5p) c) Sa se calculeze \(\int_{0}^{1}{x{{f}_{n}}\left( x \right)}dx\).