Prof: LICA ROXANA 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sa se calculeze partea fractionara a numarului $\lg 100\sqrt{10}$.

(5p) 2. Se considera functia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f\left( x \right)=x-1$. Sa se calculeze $f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+...+f\left( 2012 \right)$.

(5p) 3. Daca ${{x}_{1}}$si ${{x}_{2}}$ sunt solutiile ecuatiei ${{x}^{2}}+7x+6=0$, atunci sa se determine $E=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$.

(5p) 4. Sa se rezolve ecuatia ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+1 \right)=2$, $x\in \mathbb{R}$.

(5p) 5. Sa se calculeze $\sin 15{}^\circ$.

(5p) 6. Sa se calculeze aria triunghiului isoscel ABC cu AB=AC=18 si $m\left( {\hat{B}} \right)=30{}^\circ$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considera matricele ${{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$, $A=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$ si $M\left( a,b \right)=a{{I}_{3}}+bA$, unde $a,b\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Sa se calculeze ${{\left( M\left( 1,1 \right) \right)}^{2}}$.

(5p) b) Sa se determine inversa matricei $M\left( 2,3 \right)$.

(5p) c) Sa se determine $a$si $b$ reale astfel incat matricea $M\left( a,b \right)$ sa fie inversabila.

2. Se considera polinomul $f={{X}^{3}}+{{X}^{2}}+X+1$, $f\in \mathbb{C}\left[ X \right]$.

(5p) a) Sa se calculeze $f\left( -1 \right)$.

(5p) b) Sa se descompuna   f   in produs de factori ireductibili peste $\mathbb{C}\left[ X \right]$.

(5p) c) Sa se calculeze $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}$, unde ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$sunt radacinile lui f.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2012}$.

(5p) a) Sa se determine asimptotele functiei $f$.

(5p) b) Sa se calculeze ${f}'\left( x \right)$, $x\in \mathbb{R}$.

(5p) c) Sa se scrie ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa 1.

2. Se considera ${{f}_{n}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, ${{f}_{n}}\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{n}}$.

(5p) a) Sa se calculeze $\int_{0}^{1}{{{f}_{2}}\left( x \right)}dx.$

(5p) b) Sa se determine aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei ${{f}_{2012}}$, axa Ox si dreptele $x=0,$ $x=1$.

(5p) c) Sa se calculeze $\int_{0}^{1}{x{{f}_{n}}\left( x \right)}dx$.