Varianta 41

Prof: Viorica Lungana

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătați că \(a=\frac{3}{2}\) este una din soluțiile ecuației \(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=2\).

(5p) 2. Rezolvați ecuația \(\left| 2x-1 \right|=x+2\).

(5p) 3. Calculați suma rădăcinilor ecuației \({{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x+1}}+{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x-1}}=2\).

(5p) 4. Calculați numărul elementelor mulțimii \(M=\left\{ \left( x,y \right)\in {{N}^{*}}\left| C_{x}^{y}=C_{y}^{x};\left( x+y \right)!<1000 \right. \right\}\).

(5p) 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele \(A\left( -3,-2 \right),B\left( 3,-3 \right),C\left( -3,2 \right)\). Să se determine perimetrul triunghiului ABC.

(5p) 6. Calculați valoarea expresiei \(E\left( x \right)=\frac{{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}\) pentru \(tgx=2\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(A=\left( \begin{matrix} 2{{x}^{2}} & 1-{{x}^{3}} & -2x-a \\ -2{{x}^{2}} & {{x}^{3}} & 2x+a \\ 1 & -1 & x-2 \\ \end{matrix} \right)\in \)M3(\(\mathbb{R}\)).

(5p) a) Calculați determinantul matricei A.

(5p) b) Rezolvați ecuația \(\det A=0\)pentru \(a=0\).

(5p) c) Determinați valorile parametrului real a pentru care ecuația admite o rădăcină dublă și calculați suma acestor valori.

2. Pe mulțimea \(\mathbb{Z}\)a numerelor întregi se definesc legile de compoziție \(x*y=x+y+3\), \(x\circ y=xy+3x+3y++6\).

(5p) a) Cercetați dacă inelul \(\left( \mathbb{Z},*,\circ  \right)\)este inel comutativ și fără divizori ai lui zero.

(5p) b) Determinați elementele inversabile ale inelului \(\left( \mathbb{Z},*,\circ  \right)\).

(5p) c) Este \(\left( \mathbb{Z},*,\circ  \right)\)un corp? Justificați.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-7x+3\).

(5p) a) Rezolvați ecuația \({{f}^{,}}\left( x \right)=0\).

(5p) b) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcției  f  este paralelă cu dreapta  \(y=-5x+3\).

(5p) c) Să se scrie ecuația tangentei în acest punct.

2. Se consideră șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\), \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}}dx\).

(5p) a) Calculați \({{I}_{0}}\) și \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Studiați convergența șirului \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\).

(5p) c) Determinați o formulă de recurență pentru \({{I}_{n}},n\ge 0\).