Varianta 42

Prof: Viorica Lungana.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Rezolvați ecuația \(\left[ x-2 \right]=3\), unde \(\left[ a \right]\) este partea întreagă a numărului real a.

(5p) 2. Să se determine imaginea funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-x+2\).

(5p) 3. Arătați că \({{\log }_{2}}3\cdot {{\log }_{3}}4\cdot {{\log }_{4}}5\cdot ...\cdot {{\log }_{63}}64=6\).

(5p) 4. Calculați \(1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+9\cdot 9!+10\cdot 10!\)

(5p) 5. Fie vectorii \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) care verifică relațiile \(\left| \overrightarrow{a} \right|=2\), \(\left| \overrightarrow{b} \right|=3\) și \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-4\). Calculați  \(\overrightarrow{v}=\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right)\left( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)\).

(5p) 6. Să se calculeze \(\sin {{75}^{\circ }}+\sin {{15}^{\circ }}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matrices \(A=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Să se calculeze \({{A}^{2}}\) și \({{A}^{3}}\).

(5p) b) Calculați \({{A}^{n}}\).

(5p) c) Calculați suma elementelor matricei \({{A}^{2012}}\).

2. Se definește legea \(x*y={{x}^{\ln y}},\left( \forall \right)x,y\in \left( 0,\infty \right)\).

(5p) a) Cercetați dacă legea este comutativă.

(5p) b) Determinați elementul neutru și elementele simetrizabile din intervalul \(\left( 0,\infty  \right)\).

(5p) c) Calculați simetricele numerelor \(e\) și \(\frac{1}{e}\)în raport cu legea „*‟.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}\).

(5p) a) Rezolvați ecuația \({{f}^{,}}\left( x \right)=0\).

(5p) b) Determinați m și n astfel încât dreapta \(y=mx+n\) să fie asimptotă oblică spre \(-\infty \).

(5p) c) Calculați \(\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}+{{\left( m-n \right)}^{2}}\).

2. Se consideră funcțiile \(f,g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\sqrt{x}\), \(g\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} -\sqrt{x}, & x\in \left[ 0,\frac{1}{4} \right) \\ 2x-1, & x\in \left[ \frac{1}{4},1 \right] \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Rezolvați ecuația \(f\left( x \right)=g\left( x \right)\) pe intervalul \(\left[ 0,1 \right]\).

(5p) b) Calculați aria suprafeței plane cuprinsă între graficele funcțiilor f  și g .

(5p) c) Calculați \(\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x+\sqrt{x}\cos x \right)dx}\).